Au programme de ce chapitre
- I. Le principe multiplicatif et la factorielle
- II. Arrangements, permutations, combinaisons
- III. Propriétés des combinaisons
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition On choisit p objets parmi n objets distincts.
- Arrangement sans répétition (l'ordre compte, pas de répétition) : Anp = n × (n − 1) × … × (n − p + 1) = n! / (n − p)!
- Arrangement avec répétition (l'ordre compte, répétition permise) : np.
- Permutation (on ordonne les n objets) : Pn = n!. Si certains objets sont identiques (n1, n2, … fois) : n! / (n1! n2! …).
- Combinaison (l'ordre ne compte pas, pas de répétition) : Cnp = n! / (p! (n − p)!).
Un exemple corrigé
Exemple Une plaque d'immatriculation belge s'écrit par exemple 1-ABC-123. Si on fixe le premier chiffre, la partie « ABC-123 » comporte 3 lettres (26 choix chacune) puis 3 chiffres (10 choix chacun) : 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 263 × 103 = 17 576 000 plaques possibles.
Lexique
- factorielle
- n! = n × (n − 1) × … × 1, avec 0! = 1
- arrangement
- choix ordonné de p objets parmi n
- permutation
- manière d'ordonner tous les objets d'un ensemble
- combinaison
- choix non ordonné de p objets parmi n
- triangle de Pascal
- tableau des combinaisons construit par additions successives
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Arrangement ou combinaison ? Ne choisis pas la formule au hasard : demande-toi si échanger deux éléments donne un résultat différent. Un podium de 3 coureurs parmi 8 : oui, A83 = 336. Une équipe de 3 coureurs parmi 8 : non, C83 = 56.
Piège — Les objets identiques. Pour les anagrammes d'un mot avec des lettres répétées, n! est trop grand. Pour ANNA : 4!/(2! × 2!) = 6 anagrammes (ANNA, ANAN, AANN, NAAN, NANA, NNAA), et non 24.
Attention Le piège le plus fréquent est de confondre arrangement et combinaison. Choisir 3 délégués avec des rôles différents (président, secrétaire, trésorier) est un arrangement ; choisir 3 élèves pour un même groupe de travail est une combinaison. On a toujours Anp = p! × Cnp.
L'astuce du prof
Astuce. Pour C3028, ne calcule pas de gros produits : C3028 = C302 = 30 × 292 = 435.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un menu à la cantine
À la cantine de ton école, le menu propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de repas complets (entrée, plat, dessert) peut-on composer ?
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Trois étapes successives : 3 choix, puis 4, puis 2. Le principe multiplicatif donne 3 × 4 × 2 = 24 repas différents.
Exercice 2 — Le cadenas de vélo
Un cadenas a un code à 4 chiffres (de 0 à 9). a) Combien de codes existent ? b) Combien de codes ont 4 chiffres tous différents ?
Voir la correction
a) Les chiffres peuvent se répéter et l'ordre compte : 104 = 10 000 codes.
b) Plus aucune répétition : 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 codes, soit A104.
b) Plus aucune répétition : 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 codes, soit A104.