Au programme de ce chapitre
- I. Définition
- II. Propriétés de calcul
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit a > 0 et a ≠ 1. Pour tout réel x > 0, le logarithme de x en base a est l'exposant qu'il faut donner à a pour obtenir x :
loga x = y ⇔ ay = x.
loga x = y ⇔ ay = x.
- log (sans indice) désigne le logarithme décimal, de base 10.
- ln désigne le logarithme népérien, de base e.
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Un exemple corrigé
Exemple log2 8 = 3 car 23 = 8 ; log 1 000 = 3 ; log 0,001 = −3 ; log3 (19) = −2 car 3−2 = 19 ; ln e2 = 2 ; log5 1 = 0.
Lexique
- logarithme en base a
- exposant y tel que aʸ = x
- logarithme décimal (log)
- logarithme en base 10
- logarithme népérien (ln)
- logarithme en base e
- fonction réciproque
- fonction qui « défait » une autre ; graphiques symétriques par rapport à y = x
- asymptote verticale
- droite x = k dont la courbe se rapproche indéfiniment
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Un logarithme de somme. log (x + y) ne se simplifie pas : seul log (x · y) = log x + log y. De même log x + log y se regroupe en log (xy), jamais en log (x + y).
Piège — (log x)<sup>2</sup> et log (x<sup>2</sup>). Pour x = 1 000 : (log 1 000)2 = 32 = 9, alors que log (1 0002) = log 106 = 6 = 2 log 1 000.
Attention
- log (x + y) n'est pas égal à log x + log y : c'est le logarithme d'un produit qui se transforme en somme.
- Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas : log (−5) et ln 0 n'ont pas de sens.
- (log x)2 n'est pas log (x2) = 2 log x.
L'astuce du prof
Astuce. Pour vérifier un logarithme, retraduis-le en puissance : log4 64 = 3 est juste car 43 = 64.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Des logarithmes à retrouver
Calcule sans calculatrice : a) log2 32 ; b) log 0,01 ; c) log3 (127) ; d) log9 3.
Voir la correction
a) 25 = 32, donc log2 32 = 5.
b) 0,01 = 10−2, donc log 0,01 = −2.
c) 127 = 3−3, donc le logarithme vaut −3.
d) 912 = √9 = 3, donc log9 3 = 1/2.
b) 0,01 = 10−2, donc log 0,01 = −2.
c) 127 = 3−3, donc le logarithme vaut −3.
d) 912 = √9 = 3, donc log9 3 = 1/2.
Exercice 2 — Regrouper et simplifier
Calcule sans calculatrice : a) log5 125 ; b) log 2 + log 5 ; c) ln 36 − 2 ln 6 ; d) log3 54 − log3 2.
Voir la correction
a) 53 = 125, donc 3.
b) La somme devient le logarithme d'un produit : log (2 × 5) = log 10 = 1.
c) 2 ln 6 = ln 62 = ln 36, donc la différence vaut 0.
d) log3 (542) = log3 27 = 3.
b) La somme devient le logarithme d'un produit : log (2 × 5) = log 10 = 1.
c) 2 ln 6 = ln 62 = ln 36, donc la différence vaut 0.
d) log3 (542) = log3 27 = 3.