Au programme de ce chapitre
- I. Équations exponentielles
- II. Équations logarithmiques
- III. Inéquations, pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple
- Même base : 2x+1 = 32 ⇔ 2x+1 = 25 ⇔ x + 1 = 5 ⇔ x = 4.
- 9x = 27 ⇔ 32x = 33 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3/2.
- Avec un logarithme : 3x = 20 ⇔ x = ln 20 / ln 3 ≈ 2,727.
- ex = −4 : aucune solution, car une exponentielle est toujours strictement positive.
Extrait du cours
Après combien d'années un capital aura-t-il doublé ? Quand une substance radioactive aura-t-elle perdu 90 % de son activité ? Ces questions mènent à des équations où l'inconnue est un exposant ; on les résout grâce aux logarithmes.
Lexique
- équation exponentielle
- équation où l'inconnue est dans un exposant
- équation logarithmique
- équation où l'inconnue est dans un logarithme
- conditions d'existence
- conditions que l'inconnue doit respecter pour que l'équation ait un sens
- changement d'inconnue
- remplacement d'une expression (comme 2ˣ) par une nouvelle lettre
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier de rejeter y ≤ 0. Pour 4x − 2x − 2 = 0, avec y = 2x on trouve y = 2 ou y = −1. La valeur y = −1 est impossible puisque 2x > 0. Reste 2x = 2, donc x = 1.
Piège — Le sens de l'inégalité. 0,5x < 0,25 ⇔ x · ln 0,5 < ln 0,25. Comme ln 0,5 < 0, on obtient x > ln 0,25 / ln 0,5 = 2, et non x < 2. Contrôle : 0,53 = 0,125 < 0,25.
Attention
- Oublier les conditions d'existence fait apparaitre de fausses solutions (comme x = −2 ci-dessus).
- Dans une inéquation, quand on divise par un logarithme négatif (ln a < 0 si 0 < a < 1), le sens de l'inégalité change. Exemple : 0,8x < 0,5 ⇔ x · ln 0,8 < ln 0,5 ⇔ x > ln 0,5 / ln 0,8 ≈ 3,11, car ln 0,8 < 0.
L'astuce du prof
Astuce. Avant de sortir les logarithmes, regarde si les deux membres sont des puissances d'une même base : 8 = 23, 14 = 2−2, 27 = 33. Cela évite un calcul approché.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Même base
Résous a) 3x−1 = 81 ; b) 23x−1 = 16.
Voir la correction
a) 81 = 34, donc x − 1 = 4 et x = 5.
b) 16 = 24, donc 3x − 1 = 4, soit 3x = 5 et x = 5/3.
b) 16 = 24, donc 3x − 1 = 4, soit 3x = 5 et x = 5/3.
Exercice 2 — Avec un logarithme
Résous a) 5x = 40 ; b) ex = −3.
Voir la correction
a) 40 n'est pas une puissance entière de 5, on utilise ln : x = ln 40 / ln 5 ≈ 3,689 / 1,609 ≈ 2,29.
b) Une exponentielle est toujours strictement positive : l'équation n'a aucune solution.
b) Une exponentielle est toujours strictement positive : l'équation n'a aucune solution.