Au programme de ce chapitre
- I. Vocabulaire
- II. Calculer une probabilité
- III. Pièges et raccourcis
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition
- Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, qu'on ne peut pas prévoir à l'avance (lancer un dé, tirer une carte).
- L'univers Ω est l'ensemble de tous les résultats possibles.
- Un événement est une partie de Ω. Un événement élémentaire contient un seul résultat.
- Ø est l'événement impossible ; Ω est l'événement certain.
- Le contraire de A, noté Ā, contient les résultats qui ne sont pas dans A.
- A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : A ∩ B = Ø.
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Un exemple corrigé
Exemple On lance deux dés équilibrés : #Ω = 6 × 6 = 36 couples équiprobables. La somme vaut 7 pour (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1), donc P(somme = 7) = 636 = 1/6. La somme vaut 12 seulement pour (6;6) : P = 1/36.
Lexique
- univers
- ensemble Ω de tous les résultats possibles
- événement
- partie de l'univers
- équiprobable
- qui a la même probabilité que les autres résultats
- incompatibles
- événements qui ne peuvent pas se réaliser ensemble
- événement contraire
- événement Ā qui se réalise quand A ne se réalise pas
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier de retirer l'intersection. Pour « cœur ou roi », écrire 1352 + 452 = 1752 est faux : le roi de cœur est compté deux fois. La bonne réponse est 1652 = 4/13.
Piège — Un univers qui n'est pas équiprobable. Avec deux pièces, les trois issues « deux piles », « une pile et une face », « deux faces » ne sont pas équiprobables. Il y a 4 résultats équiprobables (PP, PF, FP, FF), donc P(deux faces) = 14 et non 1/3.
Attention Les 11 sommes possibles de deux dés (2 à 12) ne sont pas équiprobables : on ne peut donc pas écrire P(somme = 7) = 1/11. La règle de Laplace s'applique seulement à un univers équiprobable.
L'astuce du prof
Astuce Pour un événement du type « au moins un », passe par le contraire (« aucun »). On lance 4 fois un dé : P(au moins un 6) = 1 − P(aucun 6) = 1 − (56)4 = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 0,518.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un nombre premier au dé
On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre premier ?
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Les nombres premiers du dé sont 2, 3 et 5 : 3 cas favorables sur 6 résultats équiprobables, donc P = 36 = 1/2.
Exercice 2 — Une carte dans le jeu
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ou un roi ?
Voir la correction
Il y a 13 cœurs et 4 rois, mais le roi de cœur est compté deux fois. P = 1352 + 452 − 152 = 1652 = 413 ≈ 0,308.