Au programme de ce chapitre
- I. Variable aléatoire et loi de probabilité
- II. Espérance, variance, écart-type
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Elle est discrète si elle prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs x1, x2, …, xn.
La loi de probabilité de X est le tableau des valeurs xi et des probabilités pi = P(X = xi). On a toujours p1 + p2 + … + pn = 1.
La loi de probabilité de X est le tableau des valeurs xi et des probabilités pi = P(X = xi). On a toujours p1 + p2 + … + pn = 1.
Un exemple corrigé
Exemple On lance un dé équilibré. On gagne 10 € pour un 6, 2 € pour un 4 ou un 5 et on perd 3 € pour 1, 2 ou 3. Le gain X a pour loi :
Vérification : 36 + 26 + 16 = 1.
| xi | −3 | 2 | 10 |
|---|---|---|---|
| P(X = xi) | 36 | 26 | 16 |
Lexique
- variable aléatoire
- fonction qui associe un nombre à chaque résultat d'une expérience
- loi de probabilité
- tableau des valeurs de X et de leurs probabilités
- espérance
- moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités
- écart-type
- mesure de la dispersion autour de l'espérance
- jeu équitable
- jeu dont l'espérance du gain est nulle
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier la mise. Dans un jeu payant, X doit être le gain net : lot reçu moins mise. Si on mise 2 € pour un lot de 20 €, la valeur de X est 18, pas 20.
Piège — V(aX + b) n'est pas aV(X) + b. On a V(2X + 3) = 4 V(X) : la constante b disparaît et le coefficient a est élevé au carré. Pour V(X) = 5, V(2X + 3) = 20 (et non 13).
Attention Dans un jeu payant, pense à retirer la mise pour obtenir le gain net. Et l'espérance n'est pas forcément une valeur que X peut prendre : on ne gagne jamais exactement 0,83 € au jeu de dé, c'est une moyenne sur un grand nombre de parties.
L'astuce du prof
Astuce. Avant de conclure, contrôle ton calcul : la variance est toujours ≥ 0 et E(X) est compris entre la plus petite et la plus grande valeur de X. Si ce n'est pas le cas, recommence.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux pièces
On lance deux fois une pièce équilibrée. X est le nombre de faces obtenues. Donne la loi de X et son espérance.
Voir la correction
Il y a 4 résultats équiprobables : PP, PF, FP, FF. X = 0 pour 1 résultat, X = 1 pour 2, X = 2 pour 1.
Loi : P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 14 (somme 1).
E(X) = 0 × 14 + 1 × 12 + 2 × 14 = 1 face.
Loi : P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 14 (somme 1).
E(X) = 0 × 14 + 1 × 12 + 2 × 14 = 1 face.
Exercice 2 — Une probabilité manquante
La loi de X est donnée par : P(X = 1) = 0,1 ; P(X = 2) = 0,3 ; P(X = 3) = k ; P(X = 4) = 0,2. Trouve k, puis E(X), V(X) et σ(X).
Voir la correction
La somme vaut 1 : 0,1 + 0,3 + k + 0,2 = 1, d'où k = 0,4.
E(X) = 1 × 0,1 + 2 × 0,3 + 3 × 0,4 + 4 × 0,2 = 0,1 + 0,6 + 1,2 + 0,8 = 2,7.
E(X2) = 0,1 + 4 × 0,3 + 9 × 0,4 + 16 × 0,2 = 0,1 + 1,2 + 3,6 + 3,2 = 8,1.
V(X) = 8,1 − 2,72 = 8,1 − 7,29 = 0,81, donc σ(X) = 0,9.
E(X) = 1 × 0,1 + 2 × 0,3 + 3 × 0,4 + 4 × 0,2 = 0,1 + 0,6 + 1,2 + 0,8 = 2,7.
E(X2) = 0,1 + 4 × 0,3 + 9 × 0,4 + 16 × 0,2 = 0,1 + 1,2 + 3,6 + 3,2 = 8,1.
V(X) = 8,1 − 2,72 = 8,1 − 7,29 = 0,81, donc σ(X) = 0,9.