Au programme de ce chapitre
- I. La fonction intégrale
- II. Calculer une intégrale
- III. Interprétation et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit f continue sur un intervalle I et a un point de I. La fonction intégrale de f à partir de a est
G(x) = ∫ax f(t) dt.
Quand f ≥ 0 et x > a, G(x) est l'aire sous la courbe entre a et x : elle « accumule » l'aire au fur et à mesure que x avance.
G(x) = ∫ax f(t) dt.
Quand f ≥ 0 et x > a, G(x) est l'aire sous la courbe entre a et x : elle « accumule » l'aire au fur et à mesure que x avance.
Un exemple corrigé
Exemple G(x) = ∫0x √(1 + t2) dt a pour dérivée G'(x) = √(1 + x2), même si on ne sait pas calculer G(x) avec des fonctions usuelles.
Lexique
- fonction intégrale
- G(x) = intégrale de f de a à x
- théorème fondamental
- la dérivée de la fonction intégrale est f
- crochet [F(x)] de a à b
- notation de F(b) − F(a)
- taux de variation
- vitesse à laquelle une grandeur change (vitesse, débit…)
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Les parenthèses de F(b) − F(a). Si F(a) = 13 − 1 + 3, alors F(b) − F(a) = 9 − (13 − 1 + 3) et non 9 − 13 − 1 + 3. Mets F(a) entre parenthèses avant de soustraire.
Piège — Se tromper de signe pour sin et cos. Une primitive de sin x est −cos x (et de cos x : sin x). Si tu prends cos x pour primitive de sin x, tu trouves −2 au lieu de 2 pour ∫0π sin x dx.
Attention Erreur fréquente : F(b) − F(a) calculé sans parenthèses. Si F(a) contient plusieurs termes, tous changent de signe : 9 − (13 − 1 + 3) et non 9 − 13 − 1 + 3.
L'astuce du prof
Astuce. Contrôle le signe du résultat : si f ≥ 0 sur [a ; b] avec a < b, l'intégrale doit être positive. Une valeur négative révèle une erreur de calcul.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un polynôme
Calcule ∫02 (3x2 + 1) dx.
Voir la correction
Une primitive de 3x2 + 1 est x3 + x. Alors [x3 + x]02 = (8 + 2) − (0 + 0) = 10.
Exercice 2 — Une racine carrée
Calcule ∫14 √x dx.
Voir la correction
Une primitive de √x est (23)x√x. En 4 : (23) × 4 × 2 = 16/3. En 1 : (23) × 1 × 1 = 2/3. Résultat : 163 − 23 = 143 ≈ 4,67.