Au programme de ce chapitre
- I. Variable continue et courbe en cloche
- II. La loi normale centrée réduite
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une variable aléatoire continue peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle. Sa loi est décrite par une densité f : la probabilité P(a ≤ X ≤ b) est l'aire sous la courbe de f entre a et b ; l'aire totale vaut 1. Pour une variable continue, P(X = a) = 0.
X suit la loi normale N(μ ; σ) de moyenne μ et d'écart-type σ si sa densité est la courbe « en cloche » de Gauss : symétrique par rapport à la droite x = μ, avec un maximum en μ ; plus σ est grand, plus la cloche est étalée.
X suit la loi normale N(μ ; σ) de moyenne μ et d'écart-type σ si sa densité est la courbe « en cloche » de Gauss : symétrique par rapport à la droite x = μ, avec un maximum en μ ; plus σ est grand, plus la cloche est étalée.
Un exemple corrigé
Exemple Problème inverse. Quelle taille t n'est dépassée que par 10 % de ces jeunes hommes ? On cherche z tel que Φ(z) = 0,90 : la table donne z ≈ 1,28. Donc t = μ + zσ ≈ 179 + 1,28 × 7 ≈ 188 cm.
Lexique
- densité
- fonction dont l'aire sous la courbe donne les probabilités
- loi normale N(μ ; σ)
- loi continue en cloche, de moyenne μ et d'écart-type σ
- centrer-réduire
- calculer z = (x − μ)/σ
- Φ(z)
- probabilité P(Z ≤ z) pour la loi normale centrée réduite
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Écart-type ou variance ? Dans N(100 ; 25), si tu lis 25 comme σ, tu calcules z = (x − 100)/25. Vérifie la convention de ta calculatrice : en classe, le second paramètre est l'écart-type, pas la variance.
Piège — Oublier le « 1 − ». P(Z > 1,5) n'est pas Φ(1,5) = 0,9332 : c'est 1 − Φ(1,5) = 0,0668. Une zone « à droite » d'un z positif est petite ; si ta réponse dépasse 0,5, ton schéma te dira qu'il y a une erreur.
Attention
- Dans N(μ ; σ), le second paramètre est l'écart-type σ (certains livres et calculatrices utilisent la variance σ2 : vérifie la notation).
- Une probabilité négative ou supérieure à 1 signale une erreur : souvent, on a oublié de faire 1 − Φ(z) ou de centrer-réduire.
L'astuce du prof
Astuce. Avant de calculer, dessine la cloche et hachure la zone. Si la zone contient le centre μ, sa probabilité dépasse 0,5 ; sinon elle est plus petite. Cela te sert de contrôle final.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Des pains de 400 g
La masse X (en g) des pains d'une boulangerie suit N(400 ; 10). Avec la règle 68 – 95 – 99,7, estime la proportion de pains dont la masse est comprise entre 390 g et 410 g, puis entre 380 g et 420 g.
Voir la correction
390 = 400 − 10 et 410 = 400 + 10 : l'intervalle est μ ± σ, donc environ 68 % des pains.
380 = 400 − 2 × 10 et 420 = 400 + 2 × 10 : l'intervalle est μ ± 2σ, soit environ 95 % des pains.
380 = 400 − 2 × 10 et 420 = 400 + 2 × 10 : l'intervalle est μ ± 2σ, soit environ 95 % des pains.
Exercice 2 — Le train Namur – Bruxelles
Le temps de trajet X (en minutes) suit N(60 ; 5). Calcule P(X ≤ 65) et P(X > 70).
Voir la correction
Centre et réduis : 65 donne z = (65 − 60)/5 = 1, donc P(X ≤ 65) = Φ(1) ≈ 0,8413.
Pour 70, z = (70 − 60)/5 = 2, et P(X > 70) = 1 − Φ(2) ≈ 1 − 0,9772 = 0,0228, soit environ 2,3 % des trajets.
Pour 70, z = (70 − 60)/5 = 2, et P(X > 70) = 1 − Φ(2) ≈ 1 − 0,9772 = 0,0228, soit environ 2,3 % des trajets.