Au programme de ce chapitre
- I. Le plan d'étude
- II. Exemple : une fonction polynôme
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple f(x) = x3 − 3x2 + 4.
- Domaine : ℝ. f(0) = 4. Comme f(−1) = 0, on factorise : f(x) = (x + 1)(x − 2)2. Zéros : −1 et 2 (racine double : la courbe touche l'axe en x = 2 sans le traverser).
- Limites : f(x) → −∞ quand x → −∞ et f(x) → +∞ quand x → +∞ ; pas d'asymptote.
- f'(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) : maximum local f(0) = 4, minimum local f(2) = 0.
- f''(x) = 6x − 6 s'annule en changeant de signe en x = 1 : point d'inflexion (1 ; 2).
Lexique
- extremum
- maximum ou minimum (local) d'une fonction
- concavité
- sens dans lequel la courbe est tournée (∪ convexe, ∩ concave)
- point d'inflexion
- point où la courbe change de concavité
- asymptote oblique
- droite y = mx + p (m ≠ 0) dont la courbe se rapproche à l'infini
- tableau de variations
- tableau qui résume le signe des dérivées et le comportement de f
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Confondre signe de f' et signe de f. Dire « f' est négative donc f est négative » est faux : f' négative signifie que f est décroissante. Une fonction peut être décroissante tout en restant positive.
Piège — Oublier le domaine. Avant tout calcul, repère les valeurs interdites. Pour f(x) = x2/(x2 − 4), les valeurs x = 2 et x = −2 sont exclues et donnent des asymptotes verticales : ne calcule pas f(2).
Attention
- f'(c) = 0 ne suffit pas pour avoir un extremum : pour f(x) = x3, f'(0) = 0 mais f est croissante partout (f' ne change pas de signe). Il faut étudier le signe de f' de part et d'autre de c.
- Commence toujours par le domaine : une « solution » hors du domaine n'a pas de sens.
L'astuce du prof
Astuce. Cherche la parité : si f(−x) = f(x) (paire) ou f(−x) = −f(x) (impaire), tu étudies seulement x ≥ 0 et tu complètes par symétrie. Cela divise le travail par deux et sert de contrôle.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Domaines
Détermine le domaine de a) f(x) = √(x − 2) / (x − 5) ; b) g(x) = ln (4 − x2).
Voir la correction
a) Il faut x − 2 ≥ 0 (donc x ≥ 2) et x − 5 ≠ 0. Domaine : [2 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.
b) Il faut 4 − x2 > 0, soit x2 < 4, donc −2 < x < 2. Domaine : ]−2 ; 2[.
b) Il faut 4 − x2 > 0, soit x2 < 4, donc −2 < x < 2. Domaine : ]−2 ; 2[.
Exercice 2 — Une cubique complète
Étudie f(x) = x3 − 12x : zéros, extremums et inflexion.
Voir la correction
Zéros : f(x) = x(x2 − 12) = 0 pour x = 0 et x = ±2√3.
f'(x) = 3x2 − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Signe : + sur ]−∞ ; −2[, − sur ]−2 ; 2[, + sur ]2 ; +∞[.
Maximum local f(−2) = −8 + 24 = 16 ; minimum local f(2) = 8 − 24 = −16.
f''(x) = 6x change de signe en 0 : inflexion au point (0 ; 0).
f'(x) = 3x2 − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Signe : + sur ]−∞ ; −2[, − sur ]−2 ; 2[, + sur ]2 ; +∞[.
Maximum local f(−2) = −8 + 24 = 16 ; minimum local f(2) = 8 − 24 = −16.
f''(x) = 6x change de signe en 0 : inflexion au point (0 ; 0).