Au programme de ce chapitre
- I. Croissance et décroissance exponentielles
- II. Radioactivité et pH
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Demi-vie. La demi-vie T d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée : N(t) = N0 · (12)t/T.
pH. L'acidité d'une solution aqueuse est mesurée par pH = −log [H3O+], où [H3O+] est la concentration en ions hydronium (en mol/L). À 25 °C, une solution est neutre si pH = 7, acide si pH < 7, basique si pH > 7.
pH. L'acidité d'une solution aqueuse est mesurée par pH = −log [H3O+], où [H3O+] est la concentration en ions hydronium (en mol/L). À 25 °C, une solution est neutre si pH = 7, acide si pH < 7, basique si pH > 7.
Un exemple corrigé
Exemple Intérêts composés. On place 2 000 € à 3 % par an, les intérêts étant ajoutés au capital chaque année. Après 10 ans : C = 2 000 × 1,0310 ≈ 2 687,83 €.
Temps de doublement : 1,03n = 2 ⇔ n = ln 2 / ln 1,03 ≈ 23,4 : le capital aura doublé après 24 ans (le doublement se produit au cours de la 24e année).
Temps de doublement : 1,03n = 2 ⇔ n = ln 2 / ln 1,03 ≈ 23,4 : le capital aura doublé après 24 ans (le doublement se produit au cours de la 24e année).
Lexique
- intérêts composés
- intérêts ajoutés au capital et qui produisent à leur tour des intérêts
- facteur multiplicatif
- nombre (1 + t) ou (1 − t) par lequel on multiplie à chaque période
- demi-vie
- durée après laquelle la moitié des noyaux radioactifs a disparu
- pH
- mesure de l'acidité : pH = −log [H₃O⁺]
- temps de doublement
- durée nécessaire pour qu'une grandeur double
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Additionner les pourcentages. Une baisse de 10 % par an pendant 3 ans n'est pas une baisse de 30 % : le facteur est 0,93 = 0,729, soit une baisse de 27,1 %.
Piège — Mal arrondir la durée. Si n ≥ 22,5 années, on répond 23 années complètes et non 22 : après 22 ans, l'objectif n'est pas encore atteint. Arrondis toujours dans le sens qui répond à la question.
Attention Une baisse de 15 % par an n'est pas une baisse de 15 % × 4 = 60 % en 4 ans : le facteur est 0,854 ≈ 0,522, soit une baisse d'environ 47,8 %. Les pourcentages successifs se multiplient (par leurs facteurs), ils ne s'additionnent pas.
L'astuce du prof
Astuce. Pour estimer un temps de doublement, divise 70 par le taux en pour cent : à 3 % par an, 703 ≈ 23 ans, ce qui colle avec ln 2 / ln 1,03 ≈ 23,4. Cela te donne un ordre de grandeur pour contrôler.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Le livret d'épargne
Tu places 1 500 € à 2 % par an, les intérêts étant ajoutés chaque année au capital. Quel capital auras-tu après 5 ans ?
Voir la correction
Le facteur annuel est 1,02. Après 5 ans : 1 500 × 1,025 ≈ 1 500 × 1,10408 ≈ 1 656,12 €, soit environ 156 € d'intérêts.
Exercice 2 — Acide ou basique ?
a) Une boisson a [H3O+] = 2 × 10−3 mol/L. Calcule son pH. b) Une solution a un pH de 8,2. Calcule [H3O+].
Voir la correction
a) pH = −log (2 × 10−3) = −(log 2 − 3) = 3 − 0,301 ≈ 2,70. La boisson est acide.
b) [H3O+] = 10−8,2 ≈ 6,3 × 10−9 mol/L. Le pH dépasse 7 : la solution est basique.
b) [H3O+] = 10−8,2 ≈ 6,3 × 10−9 mol/L. Le pH dépasse 7 : la solution est basique.