Au programme de ce chapitre
- I. Des rectangles à l'intégrale
- II. Propriétés
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit f continue sur [a ; b]. Quand le nombre de bandes tend vers l'infini, les sommes inférieures et supérieures tendent vers un même nombre, appelé intégrale définie de f de a à b et noté ∫ab f(x) dx.
a et b sont les bornes d'intégration ; x est une variable « muette » (∫ab f(t) dt est le même nombre).
Interprétation. Si f ≥ 0 sur [a ; b], ∫ab f(x) dx est l'aire (en unités d'aire) de la région limitée par la courbe, l'axe des x et les droites x = a et x = b.
a et b sont les bornes d'intégration ; x est une variable « muette » (∫ab f(t) dt est le même nombre).
Interprétation. Si f ≥ 0 sur [a ; b], ∫ab f(x) dx est l'aire (en unités d'aire) de la région limitée par la courbe, l'axe des x et les droites x = a et x = b.
Un exemple corrigé
Exemple Approchons l'aire sous la courbe de f(x) = x2 entre 0 et 1, en découpant [0 ; 1] en 4 bandes de largeur 1/4.
- Somme inférieure (hauteur = valeur à gauche de chaque bande) : (14) × (0 + 116 + 416 + 916) = 1464 ≈ 0,219.
- Somme supérieure (hauteur = valeur à droite) : (14) × (116 + 416 + 916 + 1616) = 3064 ≈ 0,469.
Lexique
- intégrale définie
- nombre obtenu comme limite des sommes de rectangles
- bornes
- les nombres a et b entre lesquels on intègre
- somme de Riemann
- somme d'aires de rectangles qui approche l'intégrale
- relation de Chasles
- découpage d'une intégrale en deux intégrales consécutives
- valeur moyenne
- hauteur du rectangle de même aire sur [a ; b]
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Confondre intégrale et aire. Sous l'axe des x, l'intégrale compte négativement. Pour obtenir l'aire géométrique d'une région qui change de signe, il faut découper et ajouter les morceaux en valeur absolue.
Piège — Intégrer une constante. ∫03 (2f(x) + 1) dx vaut 2∫03 f + 3, pas 2∫03 f + 1 : la constante 1 devient 1 × (3 − 0).
Attention Une intégrale n'est pas toujours une aire : si la courbe passe sous l'axe des x, les parties situées en dessous comptent négativement. Par exemple ∫02π sin x dx = 0, alors que l'aire entre la courbe et l'axe n'est pas nulle.
L'astuce du prof
Astuce. Pour une fonction croissante, les hauteurs à gauche donnent la somme inférieure et celles à droite la somme supérieure ; pour une fonction décroissante, c'est l'inverse. Un petit croquis te le confirme.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Encadrer l'aire sous y = x
On découpe [0 ; 1] en 4 bandes de largeur 14 pour f(x) = x. Calcule la somme inférieure et la somme supérieure.
Voir la correction
Les hauteurs à gauche sont 0, 1/4, 24 et 34 : somme inférieure = (14)(0 + 14 + 24 + 34) = (14)(64) = 616 = 38 = 0,375.
Les hauteurs à droite sont 1/4, 2/4, 34 et 1 : somme supérieure = (14)(14 + 24 + 34 + 1) = (14)(104) = 1016 = 58 = 0,625.
L'aire exacte (un triangle de base 1 et de hauteur 1) vaut 1/2, bien comprise entre 0,375 et 0,625.
Les hauteurs à droite sont 1/4, 2/4, 34 et 1 : somme supérieure = (14)(14 + 24 + 34 + 1) = (14)(104) = 1016 = 58 = 0,625.
L'aire exacte (un triangle de base 1 et de hauteur 1) vaut 1/2, bien comprise entre 0,375 et 0,625.
Exercice 2 — Des figures connues
Calcule sans primitive : a) ∫13 (x + 1) dx ; b) ∫−33 √(9 − x2) dx.
Voir la correction
a) Sur [1 ; 3], la région sous y = x + 1 est un trapèze : hauteurs 2 et 4 aux extrémités, largeur 2. Aire = (2 + 4)/2 × 2 = 6.
b) La courbe y = √(9 − x2) est le demi-cercle de centre O et de rayon 3 : aire = π × 32 / 2 = 9π/2 ≈ 14,14.
b) La courbe y = √(9 − x2) est le demi-cercle de centre O et de rayon 3 : aire = π × 32 / 2 = 9π/2 ≈ 14,14.