Au programme de ce chapitre
- I. Fonctions exponentielles de base a
- II. Le nombre e et la fonction exp
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit a un réel strictement positif et différent de 1. La fonction exponentielle de base a est f(x) = ax, définie pour tout réel x.
Elle prolonge aux réels les puissances déjà connues : 23 = 8, 20 = 1, 2−1 = 1/2, 212 = √2.
Elle prolonge aux réels les puissances déjà connues : 23 = 8, 20 = 1, 2−1 = 1/2, 212 = √2.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Une culture contient 500 bactéries et leur nombre double chaque heure : N(t) = 500 · 2t (t en heures). Après 3 h : 500 × 8 = 4 000 bactéries ; après 30 minutes : 500 × 20,5 ≈ 707 bactéries. Chaque heure, on multiplie par 2 : c'est le prolongement continu d'une suite géométrique de raison 2.
Lexique
- fonction exponentielle
- fonction x ↦ aˣ, avec a > 0 et a ≠ 1
- base
- le nombre a qui est élevé à la puissance x
- nombre e
- constante ≈ 2,71828, base de l'exponentielle népérienne
- asymptote horizontale
- droite y = k dont la courbe se rapproche indéfiniment
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Exponentielle et puissance. Dans 2x, la variable est l'exposant ; dans x2, c'est la base. Pour x = 3 : 23 = 8 et 32 = 9, mais pour x = 5 : 32 contre 25. L'exponentielle finit toujours par dépasser la fonction carré.
Piège — Un exposant négatif. 2−3 n'est pas −8 : c'est 123 = 1/8. Le signe − de l'exposant donne un inverse, et une exponentielle reste toujours positive.
Attention
- Ne confonds pas 2x (exponentielle : x est l'exposant) et x2 (fonction carré). Pour x = 10 : 210 = 1 024 mais 102 = 100.
- ax+y = ax · ay et non ax + ay.
- Dans 3 · 2x, on calcule d'abord la puissance : 3 · 2x ≠ 6x.
L'astuce du prof
Astuce Pour reconnaitre une croissance exponentielle dans un tableau de valeurs régulièrement espacées, calcule les quotients successifs : s'ils sont constants, le modèle est exponentiel. Si ce sont les différences qui sont constantes, le modèle est affine.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une fonction décroissante
Soit g(x) = 5 · (12)x. Calcule g(0), g(2) et g(−3), puis donne le sens de variation et l'asymptote de g.
Voir la correction
g(0) = 5 · 1 = 5 ; g(2) = 5 · 14 = 1,25 ; g(−3) = 5 · (12)−3 = 5 · 8 = 40.
La base 12 est comprise entre 0 et 1 : g est décroissante. Quand x tend vers +∞, g(x) tend vers 0 : l'asymptote horizontale est y = 0.
La base 12 est comprise entre 0 et 1 : g est décroissante. Quand x tend vers +∞, g(x) tend vers 0 : l'asymptote horizontale est y = 0.
Exercice 2 — Simplifier des expressions
Simplifie : a) 2x+3 / 2x−1 ; b) (ex)3 · e−2x ; c) 4x / 2x.
Voir la correction
a) On soustrait les exposants : x + 3 − (x − 1) = 4, donc le résultat est 24 = 16.
b) (ex)3 = e3x, puis e3x · e−2x = ex.
c) Deux puissances de même exposant se divisent par leurs bases : 4x / 2x = (42)x = 2x.
b) (ex)3 = e3x, puis e3x · e−2x = ex.
c) Deux puissances de même exposant se divisent par leurs bases : 4x / 2x = (42)x = 2x.