Au programme de ce chapitre
- I. Probabilité conditionnelle et indépendance
- II. Les arbres de probabilité
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).
On la note aussi PA(B). On en déduit la règle du produit : P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), c'est-à-dire si P(B | A) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).
On la note aussi PA(B). On en déduit la règle du produit : P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), c'est-à-dire si P(B | A) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
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Un exemple corrigé
Exemple Parmi les 200 élèves de rhéto d'une école :
P(6 périodes | fille) = 30120 = 0,25 mais P(fille | 6 périodes) = 3060 = 0,5.
Comme P(6 périodes) = 60200 = 0,3 ≠ 0,25, les événements « fille » et « 6 périodes » ne sont pas indépendants.
| Maths 6 périodes | Maths 4 périodes | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 30 | 90 | 120 |
| Garçons | 30 | 50 | 80 |
| Total | 60 | 140 | 200 |
Comme P(6 périodes) = 60200 = 0,3 ≠ 0,25, les événements « fille » et « 6 périodes » ne sont pas indépendants.
Lexique
- probabilité conditionnelle
- probabilité de B quand on sait que A est réalisé
- indépendance
- P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
- arbre de probabilité
- schéma où chaque branche porte une probabilité
- probabilités totales
- somme des probabilités des chemins menant à un événement
- faux positif
- test positif chez une personne qui n'est pas malade
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Inverser le « sachant que ». La proportion de Namurois parmi les élèves de l'école n'est pas la proportion d'élèves de l'école parmi les Namurois. Identifie toujours l'événement connu : c'est lui qui donne le dénominateur.
Piège — Garder les mêmes probabilités sans remise. Dans un tirage sans remise, le deuxième niveau de l'arbre change : si tu as pris un as dans un jeu de 52 cartes, il reste 3 as sur 51 cartes et non 4 sur 52.
Attention
- P(B | A) et P(A | B) sont en général différents (voir le tableau : 0,25 et 0,5).
- Indépendants et incompatibles sont deux notions différentes : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A) × P(B).
L'astuce du prof
Astuce. Pour les problèmes de dépistage, imagine une population de 10 000 personnes et compte les effectifs. Les pourcentages deviennent des nombres de personnes et l'erreur de raisonnement saute aux yeux.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Des lunettes en rhéto
Dans une classe de 24 élèves (14 filles et 10 garçons), 7 filles et 4 garçons portent des lunettes. On choisit un élève au hasard. Calcule P(lunettes | fille) et P(fille | lunettes).
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Il y a 7 + 4 = 11 élèves à lunettes.
P(lunettes | fille) = 714 = 1/2, car on ne regarde que les 14 filles.
P(fille | lunettes) = 711 ≈ 0,636, car on ne regarde que les 11 élèves à lunettes.
P(lunettes | fille) = 714 = 1/2, car on ne regarde que les 14 filles.
P(fille | lunettes) = 711 ≈ 0,636, car on ne regarde que les 11 élèves à lunettes.
Exercice 2 — Indépendants ou non ?
a) On donne P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,3. A et B sont-ils indépendants ? b) On donne P(C) = 0,4, P(D) = 0,5 et P(C ∩ D) = 0,1. Et C et D ?
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a) Compare : P(A) × P(B) = 0,6 × 0,5 = 0,3, ce qui égale P(A ∩ B). Oui, A et B sont indépendants (et P(A | B) = 0,3/0,5 = 0,6 = P(A)).
b) P(C) × P(D) = 0,4 × 0,5 = 0,2, alors que P(C ∩ D) = 0,1. Non, ils ne sont pas indépendants.
b) P(C) × P(D) = 0,4 × 0,5 = 0,2, alors que P(C ∩ D) = 0,1. Non, ils ne sont pas indépendants.