Au programme de ce chapitre
- I. Le schéma de Bernoulli
- II. Calculer avec la loi binomiale
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1 − p).
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
La variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X ~ B(n ; p). Elle prend les valeurs 0, 1, 2, …, n.
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
La variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X ~ B(n ; p). Elle prend les valeurs 0, 1, 2, …, n.
Un exemple corrigé
Exemple Un élève répond au hasard aux 10 questions d'un QCM qui ont chacune 4 propositions (une seule correcte). X = nombre de bonnes réponses ~ B(10 ; 0,25).
- P(X = 5) = C105 × 0,255 × 0,755 = 252 × 0,255 × 0,755 ≈ 0,058.
- P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7510 ≈ 1 − 0,056 = 0,944.
- E(X) = 10 × 0,25 = 2,5 bonnes réponses en moyenne.
Lexique
- épreuve de Bernoulli
- épreuve aléatoire à deux issues, succès ou échec
- schéma de Bernoulli
- répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
- loi binomiale B(n ; p)
- loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli
- paramètres
- les nombres n (répétitions) et p (probabilité du succès)
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier le coefficient C(n ; k). Pour 5 penalties à 0,8, écrire P(X = 4) = 0,84 × 0,2 = 0,08192 est faux : il faut multiplier par C54 = 5, car le raté peut se produire à n'importe lequel des 5 tirs. Le bon résultat est 0,4096.
Piège — Mal traduire « au moins ». P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3), et non 1 − P(X ≤ 4). Si tu retires P(X ≤ 4), tu enlèves aussi le cas X = 4 que tu voulais garder.
Attention Un tirage sans remise ne donne pas une loi binomiale, car les épreuves ne sont plus indépendantes (la probabilité change à chaque tirage). On l'utilise seulement comme approximation quand on tire peu d'éléments dans une très grande population (par exemple un sondage parmi tous les habitants de la Belgique).
L'astuce du prof
Astuce Sur la calculatrice, les fonctions « binompdf » (P(X = k)) et « binomcdf » (P(X ≤ k)) donnent directement ces probabilités. Pour P(X ≥ k), calcule 1 − P(X ≤ k − 1).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Cinq lancers de pièce
On lance 5 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 faces ?
Voir la correction
X ~ B(5 ; 12). P(X = 2) = C52 × (12)2 × (12)3 = 10 × 132 = 1032 = 516 = 0,3125.
Exercice 2 — Binomiale ou pas ?
Dans chaque cas, dis si X suit une loi binomiale. a) X = nombre de 6 en 10 lancers d'un dé. b) X = nombre de cœurs quand on tire 3 cartes sans remise dans un jeu de 52 cartes. c) X = nombre de buts d'un joueur qui tire 8 penalties avec 70 % de réussite, tirs supposés indépendants.
Voir la correction
a) Oui : 10 lancers identiques et indépendants, succès « 6 » : X ~ B(10 ; 16).
b) Non : sans remise, la probabilité de tirer un cœur change à chaque carte, donc les épreuves ne sont pas indépendantes.
c) Oui, avec l'hypothèse donnée : X ~ B(8 ; 0,7).
b) Non : sans remise, la probabilité de tirer un cœur change à chaque carte, donc les épreuves ne sont pas indépendantes.
c) Oui, avec l'hypothèse donnée : X ~ B(8 ; 0,7).