Au programme de ce chapitre
- I. Aire entre une courbe et l'axe des x
- II. Aire entre deux courbes
- III. Unités et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
Un exemple corrigé
Exemple Région sous un arc. L'aire comprise entre la parabole y = 4 − x2 et l'axe des x (zéros −2 et 2) vaut ∫−22 (4 − x2) dx = [4x − x3/3]−22 = (8 − 83) − (−8 + 83) = 16 − 163 = 323 ≈ 10,67 unités d'aire.
Extrait du cours
Un architecte veut connaitre la surface d'une façade surmontée d'un arc parabolique ; un agriculteur, celle d'un champ bordé par une rivière sinueuse. Grâce aux intégrales, on calcule l'aire de régions limitées par des courbes, à condition de bien gérer les signes.
Lexique
- unité d'aire
- aire du carré construit sur les unités des axes
- zéro d'une fonction
- valeur de x pour laquelle f(x) = 0
- point d'intersection
- point commun à deux courbes
- région
- partie du plan limitée par des courbes et des droites
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Ne pas découper aux zéros. Pour f(x) = x3 sur [−2 ; 2], ∫−22 x3 dx = 0 car les deux parties se compensent. Pourtant l'aire vaut 2 × 4 = 8 : il faut calculer séparément [−2 ; 0] et [0 ; 2].
Piège — Oublier de convertir. Une aire de 4,5 unités d'aire n'est pas 4,5 m2 si l'unité du repère vaut 3 m : une unité d'aire vaut alors 9 m2 et l'aire réelle est 4,5 × 9 = 40,5 m2.
Attention Pour f(x) = x3 sur [−1 ; 2] : ∫−12 x3 dx = [x4/4]−12 = 4 − 14 = 15/4. Mais l'aire vaut −∫−10 x3 dx + ∫02 x3 dx = 14 + 4 = 17/4. Sans découpage, la partie sous l'axe est soustraite au lieu d'être ajoutée.
L'astuce du prof
Astuce Fais toujours un croquis rapide : il montre les intersections, la courbe du dessus et les éventuels changements de signe. Si tu obtiens une aire négative, tu as inversé les deux fonctions.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une aire simple
Calcule l'aire de la région comprise entre la courbe de f(x) = x2 + 1, l'axe des x et les droites x = 0 et x = 3.
Voir la correction
f est positive : aire = ∫03 (x2 + 1) dx = [x3/3 + x]03 = 9 + 3 = 12 unités d'aire.
Exercice 2 — Une arche sous l'axe
Calcule l'aire limitée par la parabole y = x2 − 9 et l'axe des x.
Voir la correction
Les zéros sont −3 et 3, et la parabole est sous l'axe entre eux.
∫−33 (x2 − 9) dx = [x3/3 − 9x]−33 = (9 − 27) − (−9 + 27) = −18 − 18 = −36.
Une aire est positive : elle vaut 36 unités d'aire.
∫−33 (x2 − 9) dx = [x3/3 − 9x]−33 = (9 − 27) − (−9 + 27) = −18 − 18 = −36.
Une aire est positive : elle vaut 36 unités d'aire.