Au programme de ce chapitre
- I. Définition
- II. Primitives usuelles et règles
- III. Pièges et entraînement
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x de I.
Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F(x) + C, où C est une constante réelle. On écrit ∫ f(x) dx = F(x) + C (« intégrale indéfinie » de f).
Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F(x) + C, où C est une constante réelle. On écrit ∫ f(x) dx = F(x) + C (« intégrale indéfinie » de f).
Un exemple corrigé
Exemple F(x) = x3 est une primitive de f(x) = 3x2, car (x3)' = 3x2. Mais x3 + 5 ou x3 − 2 en sont aussi : la dérivée d'une constante est nulle.
Lexique
- primitive
- fonction F telle que F' = f
- constante d'intégration
- le nombre C qui distingue les primitives entre elles
- intégrale indéfinie
- notation ∫ f(x) dx de l'ensemble des primitives de f
- linéarité
- on peut chercher la primitive terme par terme et sortir les constantes
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Oublier la constante C. Écrire F(x) = x2 pour la fonction 2x donne une seule primitive. Quand l'énoncé demande « toutes les primitives », écris F(x) = x2 + C.
Piège — Ne pas diviser par a. Une primitive de (2x + 1)3 est (2x + 1)4/8 et non (2x + 1)4/4 : en dérivant (2x + 1)4/4, tu trouverais 2(2x + 1)3.
Attention La primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives : une primitive de x × x = x2 est x3/3, et non (x2/2) × (x2/2). Développe d'abord le produit, puis cherche la primitive de chaque terme.
L'astuce du prof
Astuce Une primitive se vérifie toujours en la dérivant : tu dois retrouver exactement f(x).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un polynôme
Donne toutes les primitives de f(x) = 4x3 − 6x + 1.
Voir la correction
Terme par terme : 4x3 → x4 ; −6x → −3x2 ; 1 → x. Donc F(x) = x4 − 3x2 + x + C. Contrôle : F'(x) = 4x3 − 6x + 1.
Exercice 2 — Une condition initiale
a) Vérifie que F(x) = x3 − 3x + 7 est une primitive de f(x) = 3x2 − 3. b) Trouve la primitive G de f telle que G(2) = 1.
Voir la correction
a) On dérive : F'(x) = 3x2 − 3 + 0 = f(x). C'est bien une primitive.
b) Toutes les primitives sont G(x) = x3 − 3x + C. G(2) = 8 − 6 + C = 2 + C, et on veut 1, donc C = −1. Ainsi G(x) = x3 − 3x − 1.
b) Toutes les primitives sont G(x) = x3 − 3x + C. G(2) = 8 − 6 + C = 2 + C, et on veut 1, donc C = −1. Ainsi G(x) = x3 − 3x − 1.