Au programme de ce chapitre
- I. Schéma de Bernoulli
- II. Calculer avec la loi binomiale
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) ou échec (1 − p). Si on répète n fois cette épreuve de manière identique et indépendante, le nombre X de succès suit la loi binomiale B(n ; p).
Un exemple corrigé
Exemple Un QCM compte 10 questions à 4 choix ; Lucas répond au hasard. X suit B(10 ; 0,25).
- P(X = 3) = C103 × 0,25³ × 0,757 = 120 × 0,015625 × 0,1335 ≈ 0,250.
- P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7510 ≈ 1 − 0,056 = 0,944.
- E(X) = 10 × 0,25 = 2,5 bonnes réponses en moyenne.
Lexique
- épreuve de Bernoulli
- expérience à deux issues : succès ou échec
- schéma de Bernoulli
- répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
- loi binomiale
- loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli, notée B(n ; p)
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier le coefficient binomial. P(X = 2) pour B(5 ; 0,3) n'est pas 0,3² × 0,7³ : il faut multiplier par C52 = 10, car les deux succès peuvent occuper n'importe quelles places.
Piège — bornes de « au moins ». P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3) et non 1 − P(X ≤ 4). Le contraire de « au moins 4 » est « 3 ou moins » : la valeur 4 doit rester du bon côté.
Attention Des tirages sans remise dans une petite urne ne sont pas indépendants : la loi n'est pas binomiale. Dans une très grande population (un sondage auprès de 1 000 Belges), on peut toutefois l'utiliser comme bonne approximation.
L'astuce du prof
Astuce Pour « au moins k » ou « au plus k », utilise le contraire ou la calculatrice : binompdf (ou BinomPD) donne P(X = k), binomcdf (ou BinomCD) donne P(X ≤ k). Ainsi P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Six lancers de pièce
On lance 6 fois une pièce équilibrée ; X est le nombre de « pile ». Quelle loi suit X ? Calcule P(X = 3) et P(X = 6).
Voir la correction
Épreuves identiques et indépendantes avec deux issues, donc X ~ B(6 ; 12). Pour trois « pile » : P(X = 3) = C63 × (12)6 = 2064 = 516 = 0,3125. Pour six « pile » : un seul cas, P(X = 6) = (12)6 = 1/64.
Exercice 2 — Lancers francs
Une joueuse de basket réussit 70 % de ses lancers francs, de façon indépendante. Elle tire 5 lancers. Quelle est la probabilité qu'elle en réussisse exactement 4 ? Combien en réussit-elle en moyenne ?
Voir la correction
Le nombre X de réussites suit B(5 ; 0,7). P(X = 4) = C54 × 0,74 × 0,3 = 5 × 0,2401 × 0,3 = 0,36015 ≈ 0,360. En moyenne, E(X) = np = 5 × 0,7 = 3,5 lancers réussis.