Au programme de ce chapitre
- I. Définition
- II. Propriétés et théorème fondamental
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit f continue sur [a ; b]. On découpe [a ; b] en n intervalles de largeur Δx = (b − a)/n et on additionne les aires f(xi) Δx de rectangles (somme de Riemann). Quand n → +∞, ces sommes tendent vers un même nombre : l'intégrale définie ∫ab f(x) dx. Si f ≥ 0, c'est l'aire sous la courbe ; sinon, c'est une aire algébrique (les parties sous l'axe comptent négativement).
Un exemple corrigé
Exemple Approche de ∫01 x² dx avec 4 rectangles de largeur 14 :
hauteurs à droite : (14)(116 + 416 + 916 + 1616) = 3064 ≈ 0,469 ;
hauteurs à gauche : (14)(0 + 116 + 416 + 916) = 1464 ≈ 0,219.
La valeur exacte, 1/3, est comprise entre les deux.
hauteurs à droite : (14)(116 + 416 + 916 + 1616) = 3064 ≈ 0,469 ;
hauteurs à gauche : (14)(0 + 116 + 416 + 916) = 1464 ≈ 0,219.
La valeur exacte, 1/3, est comprise entre les deux.
Lexique
- somme de Riemann
- somme d'aires de rectangles qui approche une intégrale
- intégrale définie
- limite des sommes de Riemann, notée ∫ab f(x) dx
- aire algébrique
- aire comptée positivement au-dessus de l'axe, négativement en dessous
- valeur moyenne
- (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — F(a) − F(b) au lieu de F(b) − F(a). L'ordre compte : une intégrale de fonction positive avec a < b doit donner un résultat positif. Si tu trouves un négatif, vérifie l'ordre des bornes et le signe des parenthèses.
Piège — intégrale et aire ne sont pas synonymes. ∫−11 x³ dx = 0, mais l'aire entre la courbe et l'axe vaut 1/2. Quand f change de signe, l'intégrale est une aire algébrique.
Attention Une intégrale n'est pas toujours une aire : ∫02π sin x dx = [−cos x]02π = −1 + 1 = 0, alors que l'aire entre la courbe et l'axe vaut 4. Respecte aussi l'ordre F(b) − F(a), pas F(a) − F(b).
L'astuce du prof
Astuce. Tu peux encadrer une intégrale avant de la calculer : si f est comprise entre m et M sur [a ; b], alors m(b − a) ≤ ∫ f ≤ M(b − a). Cela confirme l'ordre de grandeur.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Trois intégrales
Calcule : a) ∫02 (3x² − 2x + 1) dx ; b) ∫01 e2x dx ; c) ∫14 1/√x dx.
Voir la correction
a) Une primitive est x³ − x² + x : [x³ − x² + x]02 = (8 − 4 + 2) − 0 = 6. b) Une primitive est e2x/2 : (e² − 1)/2 ≈ 3,19. c) 1/√x = x−12 a pour primitive 2√x : 2√4 − 2√1 = 4 − 2 = 2.
Exercice 2 — Utiliser les propriétés
On sait que ∫03 f = 5, ∫35 f = −2 et ∫03 g = 4. Calcule ∫05 f, ∫50 f et ∫03 (2f − 3g).
Voir la correction
Chasles regroupe les deux morceaux : ∫05 f = 5 + (−2) = 3. Inverser les bornes change le signe : ∫50 f = −3. Enfin la linéarité donne 2 × 5 − 3 × 4 = 10 − 12 = −2.