Au programme de ce chapitre
- I. Définitions
- II. Équations dans ℂ
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition L'ensemble ℂ des nombres complexes contient ℝ et un nombre i tel que i² = −1. Tout complexe s'écrit de façon unique z = a + bi (a, b réels) : c'est sa forme algébrique. a = Re(z) est la partie réelle, b = Im(z) la partie imaginaire (un réel). Si a = 0 et b ≠ 0, z est imaginaire pur.
Dans le plan de Gauss, z = a + bi est représenté par le point (a ; b).
Dans le plan de Gauss, z = a + bi est représenté par le point (a ; b).
Un exemple corrigé
Exemple (2 + 3i)(1 − 2i) = 2 − 4i + 3i − 6i² = 2 − i + 6 = 8 − i.
Quotient : on multiplie par le conjugué du dénominateur : (3 + i)/(1 − 2i) = (3 + i)(1 + 2i)/((1 − 2i)(1 + 2i)) = (3 + 7i + 2i²)/5 = (1 + 7i)/5 = 0,2 + 1,4i.
Quotient : on multiplie par le conjugué du dénominateur : (3 + i)/(1 − 2i) = (3 + i)(1 + 2i)/((1 − 2i)(1 + 2i)) = (3 + 7i + 2i²)/5 = (1 + 7i)/5 = 0,2 + 1,4i.
Lexique
- nombre complexe
- nombre de la forme a + bi avec i² = −1
- partie imaginaire
- le réel b dans z = a + bi
- conjugué
- z̄ = a − bi
- module
- |z| = √(a² + b²)
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier i² = −1. Dans (2 − 3i)(1 + i), le terme −3i × i vaut +3, pas −3i. Après un développement, remplace toujours i² avant de regrouper.
Piège — conjuguer seulement un terme. Pour diviser par 2 − i, multiplie en haut et en bas par 2 + i (le conjugué du dénominateur entier), pas par −2 + i ou par i. Seul (a + bi)(a − bi) = a² + b² donne un réel.
Attention
- Il n'y a pas d'ordre dans ℂ : « z > 0 » n'a pas de sens pour un complexe non réel.
- La règle √a · √b = √(ab) est fausse pour des négatifs : √(−4) · √(−9) = 2i · 3i = −6, pas √36 = 6. Évite d'écrire √ d'un nombre négatif dans les calculs.
L'astuce du prof
Astuce. Pour calculer in, ne multiplie jamais : divise n par 4 et lis le reste (0 → 1 ; 1 → i ; 2 → −1 ; 3 → −i). Pour 2027, le reste est 3.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Somme, produit, puissance
Soient z1 = 3 − 2i et z2 = 1 + 4i. Calcule z1 + z2 et z1 z2, puis i2027.
Voir la correction
La somme s'obtient terme à terme : (3 + 1) + (−2 + 4)i = 4 + 2i. Pour le produit, je développe : 3 + 12i − 2i − 8i² = 3 + 10i + 8 = 11 + 10i. Enfin 2027 = 4 × 506 + 3, donc i2027 = i³ = −i.
Exercice 2 — Un quotient et un module
Écris (5 + i)/(2 − i) sous forme algébrique, puis calcule |3 − 4i| et (3 − 4i)(3 + 4i).
Voir la correction
Multiplions par le conjugué 2 + i : (5 + i)(2 + i) = 10 + 5i + 2i + i² = 9 + 7i, et (2 − i)(2 + i) = 4 + 1 = 5. Le quotient vaut (9 + 7i)/5 = 1,8 + 1,4i. Le module est |3 − 4i| = √(9 + 16) = 5, et le produit par le conjugué vaut 3² + 4² = 25 = |3 − 4i|².