Au programme de ce chapitre
- I. Lieux géométriques
- II. La parabole
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un lieu géométrique est l'ensemble des points du plan qui vérifient une propriété donnée. Exemples : la médiatrice de [AB] (points équidistants de A et B), le cercle de centre C et de rayon r (points à distance r de C), les bissectrices d'un angle (points équidistants de deux droites).
Un exemple corrigé
Exemple Foyer F(0 ; 1) et directrice y = −1 : MF² = x² + (y − 1)² et dist(M ; d)² = (y + 1)².
x² + y² − 2y + 1 = y² + 2y + 1 donne x² = 4y, soit y = x²/4 : on retrouve la parabole « habituelle » d'une fonction du second degré, d'axe Oy.
x² + y² − 2y + 1 = y² + 2y + 1 donne x² = 4y, soit y = x²/4 : on retrouve la parabole « habituelle » d'une fonction du second degré, d'axe Oy.
Lexique
- lieu géométrique
- ensemble des points vérifiant une même propriété
- foyer
- point fixe qui sert à définir une conique
- directrice
- droite fixe qui sert à définir la parabole
- médiatrice
- lieu des points équidistants de deux points
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — p et p/2. p est la distance entre le foyer et la directrice ; le sommet est au milieu, à la distance p/2 de chacun. Pour y² = 8x, le foyer est (2 ; 0) et non (8 ; 0).
Piège — quel axe ? Dans y² = 2px, c'est y qui est au carré et l'axe de la parabole est Ox. Une parabole d'équation x² = 2py a au contraire Oy comme axe. Regarde la variable qui reste à la puissance 1.
Attention p est la distance du foyer à la directrice ; la distance du foyer au sommet vaut seulement p/2. Pour y² = 8x : 2p = 8, p = 4, donc F(2 ; 0) et d : x = −2 (et non F(8 ; 0)).
L'astuce du prof
Astuce. Pour trouver rapidement le sommet, place le milieu entre le foyer et le pied de la directrice : il appartient toujours à la parabole. Tu peux ainsi contrôler ton équation avec ce point.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une médiatrice
Détermine l'équation du lieu des points équidistants de A(−1 ; 3) et B(3 ; −1).
Voir la correction
Prenons M(x ; y) avec MA² = MB². Cela donne (x + 1)² + (y − 3)² = (x − 3)² + (y + 1)², soit x² + 2x + 1 + y² − 6y + 9 = x² − 6x + 9 + y² + 2y + 1. Les termes en x² et y² s'annulent : 8x − 8y = 0, donc y = x. C'est la médiatrice de [AB], qui passe par le milieu (1 ; 1).
Exercice 2 — Lire une équation
Donne le foyer et la directrice de a) y² = 10x ; b) x² = 12y. Pour a), calcule aussi la distance au foyer du point d'abscisse 10 situé au-dessus de l'axe.
Voir la correction
a) 2p = 10 donc p = 5 : foyer (52 ; 0) et directrice x = −5/2. b) 2p = 12 donc p = 6 : foyer (0 ; 3) et directrice y = −3. Pour le point de a), y² = 10 × 10 = 100 donc M(10 ; 10). Sa distance au foyer vaut sa distance à la directrice : 10 − (−52) = 252 = 12,5. Contrôle : √((10 − 2,5)² + 10²) = √156,25 = 12,5.