Au programme de ce chapitre
- I. Volumes de solides de révolution
- II. Autres applications
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
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Un exemple corrigé
Exemple
- Cône : la droite y = (r/h) x tourne sur [0 ; h] : V = π ∫0h r²x²/h² dx = π r² h/3.
- Boule : y = √(R² − x²) sur [−R ; R] : V = π ∫−RR (R² − x²) dx = π (2R³ − 2R³/3) = 4πR³/3.
- y = √x sur [0 ; 4] : V = π ∫04 x dx = 8π ≈ 25,1 u.v.
Lexique
- solide de révolution
- solide obtenu en faisant tourner une région autour d'un axe
- section
- intersection du solide avec un plan perpendiculaire à l'axe
- unité de volume
- volume du cube construit sur l'unité (u.v.)
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier le carré ou le facteur π. Pour y = √x, on intègre x et non √x. Et le facteur π ne doit jamais disparaître : V = π ∫ f², sans π tu calcules une aire.
Piège — anneau : (f − g)² ou f² − g² ? Le solide est un disque troué : aire π f² − π g² = π (f² − g²). Écrire π (f − g)² donnerait un autre solide, avec un trou mal calculé.
Attention On intègre le carré de la fonction, et π est en facteur : V = π ∫ f², pas (π ∫ f)² ni π (∫ f)². Pour un anneau, c'est π ∫ (f² − g²), pas π ∫ (f − g)².
L'astuce du prof
Astuce Contrôle tes formules sur un solide connu : un cylindre de rayon r et de hauteur h (y = r sur [0 ; h]) doit donner π r² h.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux solides simples
La région sous la droite y = 3 sur [0 ; 5] tourne autour de Ox. Calcule le volume. Fais de même avec la droite y = x sur [0 ; 3].
Voir la correction
Premier solide : V = π ∫05 3² dx = π × 9 × 5 = 45π ≈ 141,4 u.v., c'est un cylindre de rayon 3 et de hauteur 5. Second solide : V = π ∫03 x² dx = π × 273 = 9π ≈ 28,3 u.v., c'est un cône de rayon 3 et de hauteur 3, d'où V = π r² h/3 = 9π.
Exercice 2 — Deux courbes classiques
Calcule le volume engendré par la rotation autour de Ox de a) y = √(x + 1) sur [0 ; 3] ; b) y = 1/x sur [1 ; 4].
Voir la correction
a) f(x)² = x + 1 : V = π ∫03 (x + 1) dx = π [x²/2 + x]03 = π (92 + 3) = 15π/2 ≈ 23,6 u.v. b) f(x)² = 1/x², dont une primitive est −1/x : V = π [−1/x]14 = π (−14 + 1) = 3π/4 ≈ 2,36 u.v.