Au programme de ce chapitre
- I. Aire sous une courbe et entre deux courbes
- II. Pièges et conseils
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
Un exemple corrigé
Exemple Aire entre y = x³ − x et l'axe Ox sur [−1 ; 1]. L'intégrale vaut 0 (fonction impaire) ! Mais sur [0 ; 1], x³ − x ≤ 0 ; sur [−1 ; 0], x³ − x ≥ 0. Par symétrie, aire = 2 ∫01 (x − x³) dx = 2(12 − 14) = 12 u.a.
Extrait du cours
Quelle est la surface d'un vitrail en forme d'arc, d'une parcelle bordée par une rivière ou de la zone entre deux courbes ? L'intégrale permet de calculer exactement l'aire de régions limitées par des courbes.
Lexique
- unité d'aire
- aire du carré construit sur les unités d'un repère orthonormé
- point d'intersection
- point commun à deux courbes, où f(x) = g(x)
- fonction impaire
- fonction telle que f(−x) = −f(x), de graphe symétrique par rapport à l'origine
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — intégrer à travers un changement de signe. Les aires au-dessus et en dessous de l'axe se compensent dans une intégrale. Découpe l'intervalle aux zéros et additionne les aires prises positivement.
Piège — dessus et dessous inversés. Si tu intègres « dessous − dessus », tu obtiens un résultat négatif. Teste un point entre les intersections pour savoir quelle courbe est au-dessus.
Attention Ne jamais intégrer « à travers » un changement de signe : découpe l'intervalle aux zéros de f (ou de f − g) et additionne les aires de chaque morceau, chacune prise positivement.
L'astuce du prof
Astuce Fais toujours un croquis rapide des courbes : il montre les points d'intersection, la courbe du dessus et les zones à découper. Une aire est toujours positive : un résultat négatif signale une erreur d'ordre.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Aire sous une parabole
Calcule l'aire limitée par y = x² + 1, l'axe Ox et les droites x = 0 et x = 3.
Voir la correction
Rien à découper ici : x² + 1 est positif partout. L'aire vaut ∫03 (x² + 1) dx = [x³/3 + x]03 = 9 + 3 = 12 u.a.
Exercice 2 — Un arc sous l'axe
Calcule l'aire limitée par y = x² − 4 et l'axe Ox.
Voir la correction
La parabole coupe l'axe en x = −2 et x = 2, et elle est négative entre les deux (f(0) = −4). L'aire vaut donc −∫−22 (x² − 4) dx = ∫−22 (4 − x²) dx = [4x − x³/3]−22 = 2(8 − 83) = 323 ≈ 10,67 u.a.