Au programme de ce chapitre
- I. Le plan d'étude
- II. Deux exemples
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Si f″ > 0 sur un intervalle, le graphe a sa concavité tournée vers le haut ; si f″ < 0, vers le bas. Un point d'inflexion est un point où la concavité change : f″ s'y annule en changeant de signe.
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Un exemple corrigé
Exemple f(x) = x e−x. Domaine ℝ ; f(0) = 0 ; f a le signe de x.
limx→+∞ f(x) = 0 (croissances comparées) : AH y = 0 à droite. limx→−∞ f(x) = −∞ et f(x)/x = e−x → +∞ : branche parabolique de direction verticale.
f′(x) = (1 − x) e−x : maximum en (1 ; 1/e ≈ 0,37).
f″(x) = (x − 2) e−x : concavité vers le bas sur ]−∞ ; 2[, vers le haut ensuite ; point d'inflexion (2 ; 2/e² ≈ 0,27).
limx→+∞ f(x) = 0 (croissances comparées) : AH y = 0 à droite. limx→−∞ f(x) = −∞ et f(x)/x = e−x → +∞ : branche parabolique de direction verticale.
f′(x) = (1 − x) e−x : maximum en (1 ; 1/e ≈ 0,37).
f″(x) = (x − 2) e−x : concavité vers le bas sur ]−∞ ; 2[, vers le haut ensuite ; point d'inflexion (2 ; 2/e² ≈ 0,27).
Lexique
- asymptote oblique
- droite y = mx + p dont le graphe se rapproche à l'infini
- concavité
- sens dans lequel le graphe est « tourné », donné par le signe de f″
- point d'inflexion
- point où la concavité change
- extremum
- maximum ou minimum (local ou absolu)
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — décroissante sur chaque intervalle, pas sur la réunion. f(x) = (2x + 1)/(x − 3) est décroissante sur ]−∞ ; 3[ et sur ]3 ; +∞[, mais pas sur ℝ \ {3} : f(0) = −13 < f(4) = 9. Les intervalles de monotonie ne s'unissent pas à travers une valeur interdite.
Piège — extremum et inflexion mal détectés. Annulation sans changement de signe ne donne ni extremum (pour f′) ni inflexion (pour f″). Vérifie toujours le signe de chaque côté dans le tableau.
Attention f″(a) = 0 ne suffit pas pour un point d'inflexion : avec f(x) = x4, f″(0) = 0 mais f″ ne change pas de signe. De même, f′(a) = 0 sans changement de signe (x³ en 0) ne donne pas d'extremum.
L'astuce du prof
Astuce Vérifie la cohérence de ton tableau : une fonction continue ne peut pas passer d'un maximum à une valeur plus grande sans croître entre les deux. Contrôle enfin ton graphique avec la calculatrice graphique ou GeoGebra.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un polynôme du troisième degré
Étudie f(x) = x³ − 6x² + 9x : zéros, extremums et point d'inflexion.
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On factorise f(x) = x(x − 3)², donc f s'annule en 0 et en 3. La dérivée est f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) : positive avant 1, négative entre 1 et 3, positive après 3. Maximum local f(1) = 4 et minimum local f(3) = 0. Enfin f″(x) = 6x − 12 s'annule en 2 en changeant de signe : point d'inflexion (2 ; 2).
Exercice 2 — Une fonction homographique
Étudie f(x) = (2x + 1)/(x − 3) : domaine, asymptotes, variations.
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Le domaine est ℝ \ {3}. En x = 3, le numérateur vaut 7 et le dénominateur tend vers 0 : la droite x = 3 est asymptote verticale. En ±∞, f(x) tend vers 2 : asymptote horizontale y = 2. La dérivée est f′(x) = (2(x − 3) − (2x + 1))/(x − 3)² = −7/(x − 3)², toujours négative : f décroît sur ]−∞ ; 3[ et sur ]3 ; +∞[.