Au programme de ce chapitre
- I. Les transformations de base
- II. Enchainer plusieurs transformations
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple g(x) = (x − 3)² + 2 : parabole y = x² translatée de 3 vers la droite et de 2 vers le haut. Son sommet est (3 ; 2), son axe de symétrie la droite x = 3.
Extrait du cours
Le graphique de (x − 3)² + 2 est une parabole déplacée. En reconnaissant les transformations (glisser, retourner, étirer), tu traces sans tableau de valeurs le graphique d'une fonction construite à partir d'une fonction de référence.
| Nouvelle fonction | Transformation du graphique de f |
|---|---|
| f(x) + k | translation verticale de k (vers le haut si k > 0) |
| f(x − h) | translation horizontale de h (vers la droite si h > 0) |
| a · f(x), a > 0 | étirement vertical (a > 1) ou compression (0 < a < 1) |
| −f(x) | symétrie orthogonale d'axe Ox |
| f(−x) | symétrie orthogonale d'axe Oy |
Lexique
- translation
- déplacement de tout le graphique sans le déformer
- symétrie orthogonale
- réflexion par rapport à une droite (un axe)
- étirement vertical
- multiplication de toutes les ordonnées par un même nombre
- sommet
- point le plus haut ou le plus bas d'une parabole ou d'un « V »
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — −f(x) + k n'est pas −(f(x) + k). Avec f(x) = |x| : −|x| + 3 a pour sommet (0 ; 3), tandis que −(|x| + 3) = −|x| − 3 a pour sommet (0 ; −3). Les parenthèses changent le résultat.
Piège — oublier de modifier le domaine. Une translation horizontale déplace le domaine : √(x + 1) existe pour x ≥ −1, et pas seulement pour x ≥ 0.
Attention Le piège classique : f(x − 3) déplace le graphique de 3 unités vers la droite, et f(x + 3) vers la gauche. Pense : « pour obtenir la même image, x doit valoir 3 de plus ».
L'astuce du prof
Astuce Suis un point caractéristique (le sommet de la parabole ou du « V », le centre de symétrie de l'hyperbole) : il subit exactement les translations. Ensuite, les asymptotes et l'allure suivent.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Lire un sommet
Donne le sommet, l'axe de symétrie et l'ensemble image de g(x) = (x + 4)² − 5.
Voir la correction
(x + 4)² = (x − (−4))² : la parabole est translatée de 4 vers la gauche et de 5 vers le bas. Sommet (−4 ; −5), axe x = −4. Comme a > 0, la parabole est tournée vers le haut : image [−5 ; +∞[.
Exercice 2 — Un « V » déplacé
Décris le graphique de h(x) = |x − 1| + 3, puis calcule h(0) et h(4).
Voir la correction
Le « V » de |x| est translaté de 1 vers la droite et de 3 vers le haut, avec pour sommet (1 ; 3). Valeurs : h(0) = |−1| + 3 = 4 et h(4) = |3| + 3 = 6. Les deux points sont de part et d'autre de l'axe x = 1, à des distances 1 et 3 de cet axe.