Au programme de ce chapitre
- I. Les formules fondamentales
- II. Les angles associés
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√3/2.
sin 210° = sin(180° + 30°) = −sin 30° = −1/2.
sin 315° = sin(−45°) = −sin 45° = −√22 (315° et −45° ont le même côté extrémité).
sin 210° = sin(180° + 30°) = −sin 30° = −1/2.
sin 315° = sin(−45°) = −sin 45° = −√22 (315° et −45° ont le même côté extrémité).
Extrait du cours
Connaitre le sinus d'un angle suffit pour retrouver son cosinus et sa tangente, et les valeurs de 30°, 45° et 60° donnent celles de 150°, 210° ou 315°. Quelques formules font tout ce travail.
| Angles | sinus | cosinus | tangente |
|---|---|---|---|
| supplémentaires : 180° − α | sin α | −cos α | −tan α |
| opposés : −α | −sin α | cos α | −tan α |
| anti-supplémentaires : 180° + α | −sin α | −cos α | tan α |
| complémentaires : 90° − α | cos α | sin α | 1 ÷ tan α |
Lexique
- angles supplémentaires
- angles dont la somme vaut 180°
- angles complémentaires
- angles dont la somme vaut 90°
- angles opposés
- angles α et −α
- formule fondamentale
- sin²α + cos²α = 1
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier la racine négative. Si cos²α = 9/25, alors cos α = 35 ou cos α = −3/5. Garder seulement 35 est une erreur : le quadrant de l'angle décide du signe.
Piège — « sin(a + b) = sin a + sin b ». C'est faux : sin 30° + sin 60° = 12 + √32 ≈ 1,37, alors que sin 90° = 1. Un sinus ne se distribue pas sur une somme d'angles.
Attention sin²α signifie (sin α)², et pas sin(α²). Et après avoir calculé cos²α, n'oublie pas qu'il y a deux racines possibles : c'est le quadrant qui fixe le signe.
L'astuce du prof
Astuce Dessine toujours le cercle : les angles associés sont des symétriques du point de départ par rapport à un axe ou à O. Tu « vois » immédiatement quel nombre change de signe.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un sinus connu
On sait que sin α = 45 et que α est un angle aigu. Calcule cos α et tan α.
Voir la correction
cos²α = 1 − 1625 = 9/25, donc cos α vaut 35 ou −3/5. Un angle aigu a un cosinus positif : cos α = 3/5. Alors tan α = (45) ÷ (35) = 4/3.
Exercice 2 — Des valeurs exactes
Donne la valeur exacte de cos 135°, sin 240° et tan 120°.
Voir la correction
Trois angles associés. 135° = 180° − 45°, donc cos 135° = −cos 45° = −√2/2. 240° = 180° + 60°, donc sin 240° = −sin 60° = −√3/2. 120° = 180° − 60°, donc tan 120° = −tan 60° = −√3.