Au programme de ce chapitre
- I. Vecteurs et composantes
- II. Opérations sur les vecteurs
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un vecteur (noté ici en gras, par exemple AB ou u) est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme : AB = DC signifie que ABCD est un parallélogramme.
Dans un repère orthonormé, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), les composantes de AB sont (xB − xA ; yB − yA).
Dans un repère orthonormé, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), les composantes de AB sont (xB − xA ; yB − yA).
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Un exemple corrigé
Exemple A(1 ; 3) et B(4 ; −1) : AB a pour composantes (4 − 1 ; −1 − 3) = (3 ; −4). Sa norme vaut √(3² + (−4)²) = √25 = 5.
Lexique
- vecteur
- objet défini par une direction, un sens et une norme
- composantes
- coordonnées d'un vecteur dans un repère
- norme
- longueur d'un vecteur
- relation de Chasles
- AB + BC = AC
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — AB = DC, pas AB = CD. Pour A(0 ; 0), B(2 ; 0), C(3 ; 1), D(1 ; 1), on a AB = (2 ; 0) = DC, mais CD = (−2 ; 0). L'ordre des lettres compte, car il donne le sens du vecteur.
Piège — la norme d'une somme n'est pas la somme des normes. Pour u(3 ; 0) et v(0 ; 4), u + v = (3 ; 4) a pour norme 5, alors que 3 + 4 = 7.
Attention On calcule toujours « arrivée moins départ ». BA a pour composantes (−3 ; 4) : BA = −AB.
L'astuce du prof
Astuce Pour prouver que trois points A, B, C sont alignés, montre que AB et AC sont parallèles (ad − bc = 0).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Composantes et norme
Soit A(−1 ; 4) et B(5 ; −4). Calcule les composantes du vecteur AB et sa norme.
Voir la correction
Arrivée moins départ : AB = (5 − (−1) ; −4 − 4) = (6 ; −8). Norme : √(36 + 64) = √100 = 10.
Exercice 2 — Somme et multiple
Soit u(2 ; −3) et v(−1 ; 5). Calcule u + v et 3u − 2v.
Voir la correction
On travaille composante par composante. u + v = (2 − 1 ; −3 + 5) = (1 ; 2). Ensuite, 3u = (6 ; −9) et 2v = (−2 ; 10), donc 3u − 2v = (6 + 2 ; −9 − 10) = (8 ; −19).