Au programme de ce chapitre
- I. Les cas simples
- II. La formule du discriminant
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple 2x² − 3x − 2 = 0 : a = 2, b = −3, c = −2. Δ = 9 + 16 = 25. x = (3 ± 5)/4, donc x = 2 ou x = −1/2.
4x² − 12x + 9 = 0 : Δ = 144 − 144 = 0, une seule solution x = 128 = 3/2.
x² + 2x + 5 = 0 : Δ = 4 − 20 = −16 < 0, pas de solution réelle.
4x² − 12x + 9 = 0 : Δ = 144 − 144 = 0, une seule solution x = 128 = 3/2.
x² + 2x + 5 = 0 : Δ = 4 − 20 = −16 < 0, pas de solution réelle.
Extrait du cours
Trouver deux nombres consécutifs dont le produit vaut 132, ou l'instant où un ballon retombe au sol : ces problèmes mènent à une équation du deuxième degré, que tu sauras toujours résoudre grâce au discriminant.
Lexique
- discriminant
- nombre Δ = b² − 4ac, aussi appelé réalisant ρ
- racine
- solution de l'équation ax² + bx + c = 0, ou zéro du trinôme
- solution double
- solution unique obtenue quand Δ = 0
- trinôme
- expression ax² + bx + c avec a ≠ 0
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — le signe de c dans Δ. Pour x² + x − 6 = 0, Δ = 1 − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25. Si tu oublies que c est négatif, tu trouves 1 − 24 = −23, et tu conclus à tort qu'il n'y a pas de solution.
Piège — la barre de fraction. Pour x² − 4x + 3 = 0, x = (4 ± 2) ÷ 2, soit 3 ou 1. Si tu écris 4 ± 2 ÷ 2, tu divises seulement le 2 et tu obtiens 5 ou 3, ce qui est faux.
Attention Ne divise jamais les deux membres par x : dans 3x² = 12x, diviser par x fait perdre la solution x = 0. Ramène tout dans un membre et mets en évidence.
L'astuce du prof
Astuce Avant tout calcul, écris l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et note a, b, c avec leur signe. La majorité des erreurs viennent d'un signe oublié dans b ou c.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Trois équations incomplètes
Résous : a) x² − 7x = 0 ; b) 2x² = 50 ; c) x² + 16 = 0.
Voir la correction
Trois cas incomplets. a) x(x − 7) = 0, donc x = 0 ou x = 7. b) x² = 25, donc x = 5 ou x = −5. c) x² = −16 est impossible, un carré n'étant jamais négatif : aucune solution réelle.
Exercice 2 — Deux solutions
Résous x² + 3x − 10 = 0.
Voir la correction
Ici a = 1, b = 3 et c = −10. Δ = 9 − 4 × 1 × (−10) = 9 + 40 = 49, donc √Δ = 7 et x = (−3 ± 7) ÷ 2, soit x = 2 ou x = −5. Vérification : 4 + 6 − 10 = 0 et 25 − 15 − 10 = 0.