Au programme de ce chapitre
- I. Le graphique de f(x) = ax² + bx + c
- II. Esquisser et utiliser la parabole
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction du deuxième degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Son graphique est une parabole :
- tournée vers le haut (concavité vers le haut) si a > 0, vers le bas si a < 0 ;
- d'axe de symétrie la droite x = −b/(2a) ;
- de sommet S(−b/(2a) ; f(−b/(2a))) ;
- qui coupe l'axe des ordonnées en (0 ; c).
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
Un exemple corrigé
Exemple f(x) = x² − 4x + 3. a = 1 > 0 : parabole tournée vers le haut. Axe : x = 42 = 2 ; f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, donc S(2 ; −1). Forme canonique : (x − 2)² − 1. Ordonnée à l'origine : 3. Zéros : 1 et 3 (car f(1) = f(3) = 0).
Lexique
- parabole
- graphique d'une fonction du deuxième degré
- sommet
- point de la parabole situé sur son axe de symétrie
- forme canonique
- écriture a(x − α)² + β
- extremum
- maximum ou minimum d'une fonction
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — le signe de α dans la forme canonique. Avec 2(x + 3)² − 1, le sommet est (−3 ; −1) et non (3 ; −1) : x + 3 = x − (−3).
Piège — confondre où et combien. Si le sommet est (2 ; 21), le maximum est 21 (l'ordonnée), atteint pour x = 2 (l'abscisse). Ne donne pas 2 comme valeur du maximum.
Attention Dans −b/(2a), attention aux signes : pour f(x) = −2x² + 8x − 6, l'abscisse du sommet vaut −8/(2 · (−2)) = −8/(−4) = 2, et non −2.
L'astuce du prof
Astuce Le sommet donne l'extremum : un minimum si a > 0, un maximum si a < 0. C'est l'outil idéal pour les problèmes d'optimisation.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un premier sommet
Pour f(x) = x² − 6x + 5, donne le sommet, l'extremum et l'ordonnée à l'origine.
Voir la correction
Ici a = 1, b = −6 et c = 5. Abscisse du sommet : 62 = 3, ordonnée : f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Sommet S(3 ; −4), qui est un minimum car a > 0. La parabole coupe l'axe Oy en (0 ; 5).
Exercice 2 — Forme canonique d'une parabole renversée
Écris f(x) = −x² + 4x + 1 sous forme canonique. Quel est son extremum ?
Voir la correction
α = −4/(2 × (−1)) = 2 et f(2) = −4 + 8 + 1 = 5, donc f(x) = −(x − 2)² + 5. Développement de contrôle : −(x² − 4x + 4) + 5 = −x² + 4x + 1. Le coefficient de x² est négatif : f admet un maximum égal à 5, atteint en x = 2.