Au programme de ce chapitre
- I. Les deux formules
- II. Quelle formule choisir ?
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Dans un triangle ABC, on note a = |BC|, b = |AC| et c = |AB| : chaque côté porte le nom (en minuscule) du sommet opposé. Résoudre un triangle, c'est calculer toutes ses mesures (côtés et angles) à partir de trois d'entre elles, dont au moins un côté.
Un exemple corrigé
Exemple b = 5, c = 7 et  = 60°. Carnot : a² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · cos 60° = 74 − 35 = 39, donc a = √39 ≈ 6,24.
Lexique
- résoudre un triangle
- calculer tous ses côtés et tous ses angles
- règle des sinus
- a ÷ sin  = b ÷ sin B̂ = c ÷ sin Ĉ
- formule de Carnot
- a² = b² + c² − 2bc · cos Â, aussi appelée théorème d'Al-Kashi
- angle compris
- angle formé par les deux côtés connus
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — la calculatrice en radians. Vérifie que ta calculatrice est en degrés (DEG). En radians, cos 60 donne environ −0,95 au lieu de 0,5, et tous tes résultats sont faux.
Piège — soustraire avant de multiplier. Avec b = 4, c = 6 et  = 60° : a² = 16 + 36 − 2 × 4 × 6 × 0,5 = 52 − 24 = 28. Si tu calcules (52 − 48) × 0,5 = 2, tu obtiens un résultat faux : le cosinus ne multiplie que le terme 2bc.
Attention Si on cherche un angle avec la règle des sinus, sin x = k a deux solutions entre 0° et 180° (x et 180° − x) : il peut exister deux triangles. Pour trouver un angle, préfère Carnot, car un cosinus détermine l'angle sans ambiguïté.
L'astuce du prof
Astuce — contrôle final. Les trois angles doivent totaliser 180° et le plus grand côté doit faire face au plus grand angle. Si ce n'est pas le cas, reprends tes calculs.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Une aire avec un sinus
Un triangle a deux côtés de 6 cm et 10 cm qui forment un angle de 30°. Calcule son aire.
Voir la correction
S = ½ × 6 × 10 × sin 30° = 30 × 12 = 15 cm².
Exercice 2 — Un côté et deux angles
Dans un triangle ABC, a = 10 cm, Â = 50° et B̂ = 60°. Résous le triangle (calcule Ĉ, b et c au centième de cm près).
Voir la correction
Ĉ = 180° − 50° − 60° = 70°. La règle des sinus donne b = 10 × sin 60° ÷ sin 50° ≈ 11,31 cm et c = 10 × sin 70° ÷ sin 50° ≈ 12,27 cm. Contrôle : le plus grand côté, c, est opposé au plus grand angle, Ĉ.