Au programme de ce chapitre
- I. Deux droites dans l'espace
- II. Droites et plans, plans entre eux
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Deux droites de l'espace sont :
- sécantes si elles ont un seul point commun ;
- parallèles si elles sont dans un même plan sans point commun (strictement parallèles) ou confondues ;
- gauches si aucun plan ne les contient toutes les deux : elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.
Un exemple corrigé
Exemple Dans le cube ABCDEFGH : (AB) et (BF) sont sécantes en B ; (AB) et (HG) sont parallèles (toutes deux parallèles à (DC)) ; (AB) et (CG) sont gauches.
Lexique
- coplanaires
- contenues dans un même plan
- droites gauches
- droites non coplanaires, sans point commun
- plans sécants
- plans dont l'intersection est une droite
- orthogonales
- droites qui forment un angle droit, même sans se couper
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — te fier au dessin. Sur un dessin en perspective, deux droites gauches peuvent se croiser sur le papier. Ne conclus jamais « sécantes » à partir de l'image : cherche un plan qui contient les deux droites, ou un point commun réel.
Piège — « perpendiculaires à une même droite, donc parallèles ». C'est vrai dans le plan, mais faux dans l'espace : dans le cube, (AB) et (AD) sont toutes deux perpendiculaires à (AE), et pourtant elles sont sécantes en A.
Attention Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent être gauches.
L'astuce du prof
Astuce — prouver qu'une droite est parallèle à un plan. Cherche dans le plan une droite parallèle à la tienne, souvent l'arête opposée ou la diagonale d'une autre face. Vérifie ensuite que ta droite n'est pas incluse dans le plan.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Trois paires de droites
Dans le cube ABCDEFGH, donne la position relative de : a) (BC) et (BF) ; b) (EF) et (HG) ; c) (AB) et (EH).
Voir la correction
Trois verdicts. a) Elles passent toutes deux par B et sont différentes : sécantes en B. b) Les faces ABFE et DCGH sont parallèles, et le plan EFGH les coupe selon (EF) et (HG) : ces droites sont parallèles. c) (AB) est dans le plan ABCD et (EH) dans le plan EFGH, deux plans parallèles : aucun point commun. Elles ne sont pas parallèles non plus, car (AB) // (DC) et (EH) // (AD) avec (DC) et (AD) sécantes. Elles sont donc gauches.
Exercice 2 — Droite et plan
Dans le cube ABCDEFGH, donne la position relative de : a) (AE) et le plan ABCD ; b) (GH) et le plan ABCD ; c) (AB) et le plan ABFE.
Voir la correction
Cherchons les points communs. a) (AE) coupe le plan ABCD en A seulement : sécante. b) (GH) est parallèle à (CD), qui est une droite du plan ABCD, et (GH) n'est pas dans ce plan : elle lui est parallèle. c) A et B sont dans ABFE, donc la droite (AB) y est entièrement incluse.