Au programme de ce chapitre
- I. Définir sin, cos et tan d'un angle orienté
- II. Signes et valeurs remarquables
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé. Un angle orienté α a pour côté origine la demi-droite [Ox) et tourne dans le sens trigonométrique (contraire des aiguilles d'une montre). Son côté extrémité coupe le cercle en P.
- cos α = abscisse de P ;
- sin α = ordonnée de P ;
- tan α = sin α ÷ cos α (si cos α ≠ 0) : c'est l'ordonnée du point où le côté extrémité (prolongé) coupe la tangente au cercle d'équation x = 1.
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Un exemple corrigé
Exemple Pour 120°, le point P est dans le quadrant II, symétrique du point de 60° par rapport à l'axe des ordonnées : cos 120° = −12 et sin 120° = √3/2, donc tan 120° = −√3.
Lexique
- cercle trigonométrique
- cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé
- sens trigonométrique
- sens contraire des aiguilles d'une montre
- quadrant
- chacun des quatre quarts du plan délimités par les axes
- angle orienté
- angle avec un côté origine et un côté extrémité, mesuré dans un sens
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — inverser abscisse et ordonnée. Le point de 60° est P(cos 60° ; sin 60°) = (12 ; √32), et pas (√32 ; 12). L'abscisse vient toujours en premier, c'est le cosinus.
Piège — tan 90° et tan 180°. tan 180° = sin 180° ÷ cos 180° = 0 ÷ (−1) = 0, mais tan 90° = 1 ÷ 0 n'existe pas. Un cosinus nul interdit la tangente, pas un sinus nul.
L'astuce du prof
Astuce Retiens « 1, 2, 3 » : sin 30°, sin 45°, sin 60° valent √1/2, √2/2, √3/2. Le cosinus parcourt les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.
Exercices corrigés
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Exercice 1 — Dans quel quadrant ?
Donne le quadrant de 100°, 250° et 340°, puis le signe de cos, sin et tan pour chacun.
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100° se trouve dans le quadrant II : cos négatif, sin positif, tan négative. 250° est dans le quadrant III : cos et sin négatifs, donc tan positive. 340° est dans le quadrant IV : cos positif, sin négatif, tan négative.
Exercice 2 — Valeurs remarquables
Donne sans calculatrice : cos 60°, sin 45°, tan 30°, sin 90° et cos 180°.
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cos 60° = 12 ; sin 45° = √22 ; tan 30° = √33 ; sin 90° = 1 ; cos 180° = −1.