Au programme de ce chapitre
- I. Le signe du trinôme
- II. Somme et produit des racines
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple −x² + 4x − 5 < 0 : Δ = 16 − 20 = −4 < 0 et a = −1 < 0. Le trinôme est toujours négatif : S = ℝ.
Extrait du cours
Pour quelles valeurs un bénéfice est-il positif ? Pour quelles vitesses un freinage reste-t-il sûr ? Résoudre une inéquation du deuxième degré, c'est étudier le signe d'un trinôme.
Lexique
- inéquation
- inégalité contenant une inconnue
- tableau de signes
- tableau qui donne le signe d'une expression selon x
- racine évidente
- racine que l'on repère sans calcul (souvent 0, 1 ou −1)
- ensemble des solutions
- ensemble S de toutes les valeurs qui vérifient l'inéquation
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — x² > 4 ne signifie pas x > 2. Les solutions sont les nombres qui ont une valeur absolue supérieure à 2 : S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[. Par exemple x = −3 convient, puisque (−3)² = 9 > 4.
Piège — le signe de la somme. Pour x² − 7x + 10 = 0, S = −b/a = −(−7)/1 = +7. Écrire S = −7 est une erreur de signe très fréquente.
Attention Δ < 0 ne veut pas dire « pas de solution » pour une inéquation : la solution est ℝ ou ∅ selon le signe de a et le sens de l'inégalité. Et soigne les crochets : inégalité stricte, crochets ouverts aux racines.
L'astuce du prof
Astuce — la racine évidente. Si a + b + c = 0, alors 1 est racine. Pour 5x² − 8x + 3 = 0 : 5 − 8 + 3 = 0, donc 1 est racine et l'autre vaut P = c/a = 3/5.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un trinôme positif à l'extérieur
Résous x² − 4x + 3 ≥ 0.
Voir la correction
Δ = 16 − 12 = 4, racines x = (4 ± 2) ÷ 2, soit 1 et 3. Comme a = 1 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines, et il s'annule en 1 et en 3 : S = ]−∞ ; 1] ∪ [3 ; +∞[.
Exercice 2 — Un trinôme négatif entre les racines
Résous −x² + 2x + 8 ≥ 0.
Voir la correction
Passons par le trinôme x² − 2x − 8 en multipliant par −1, ce qui renverse l'inégalité : x² − 2x − 8 ≤ 0. Δ = 4 + 32 = 36, racines (2 ± 6) ÷ 2 = 4 et −2. Un trinôme avec a > 0 est négatif entre ses racines : S = [−2 ; 4]. Contrôle avec x = 0 : −0 + 0 + 8 = 8 ≥ 0.