Au programme de ce chapitre
- I. Polynômes et produits remarquables
- II. Les techniques de factorisation
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un polynôme en x est une somme de monômes : 3x³ − 2x + 5. Son degré est le plus grand exposant de x (ici 3). On l'ordonne en écrivant les termes par exposants décroissants.
Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est transformer une somme en produit.
Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est transformer une somme en produit.
Un exemple corrigé
Exemple
- (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
- (x − 5)² = x² − 10x + 25
- (2x − 3)(2x + 3) = 4x² − 9
Extrait du cours
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est l'outil clé pour résoudre des équations, simplifier des fractions et calculer plus vite de tête : 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
Lexique
- polynôme
- somme de monômes
- degré
- plus grand exposant de la variable dans un polynôme
- factoriser
- transformer une somme en produit
- mise en évidence
- sortir un facteur commun à tous les termes
- double produit
- le terme 2ab dans (a + b)²
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — (x − 4)² n'est pas x² − 16. Le carré d'une différence contient un double produit : (x − 4)² = x² − 8x + 16. Le résultat x² − 16 correspond à (x − 4)(x + 4).
Piège — oublier le « 1 » quand le facteur commun disparaît. 4x² + 4x = 4x(x + 1) : si tu mets 4x en évidence, il reste x pour le premier terme et 1 pour le second. Écrire 4x · x serait faux.
Attention (a + b)² ≠ a² + b² : il manque le double produit 2ab. Par exemple, (x + 3)² = x² + 6x + 9, et non x² + 9. Vérifie avec x = 1 : (1 + 3)² = 16 et 1 + 6 + 9 = 16.
L'astuce du prof
Astuce. Teste toujours ta factorisation en remplaçant x par 1 ou 2 dans l'expression de départ et dans le résultat : les deux valeurs doivent être égales. Cherche toujours le facteur commun en premier.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Développer
Développe : a) (x + 4)² ; b) (3x − 1)² ; c) (2x + 5)(2x − 5).
Voir la correction
a) x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16. b) (3x)² − 2 × 3x × 1 + 1² = 9x² − 6x + 1. c) (2x)² − 5² = 4x² − 25.
Exercice 2 — Mettre en évidence
Factorise : a) 12x³ − 8x² ; b) 5x²y + 10xy².
Voir la correction
a) Le plus grand facteur commun est 4x² : 12x³ − 8x² = 4x²(3x − 2). b) Le facteur commun est 5xy : 5x²y + 10xy² = 5xy(x + 2y). Vérification de b) : 5xy × x = 5x²y et 5xy × 2y = 10xy².