Au programme de ce chapitre
- I. Racine carrée et racine cubique
- II. Propriétés et simplification
- III. Rendre un dénominateur rationnel
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition
- Pour a ≥ 0, la racine carrée √a est le nombre positif dont le carré vaut a : √49 = 7 car 7² = 49 et 7 ≥ 0.
- Pour tout réel a, la racine cubique ∛a est le nombre dont le cube vaut a : ∛8 = 2 et ∛(−27) = −3, car (−3)³ = −27.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple On n'additionne que des radicaux semblables (même nombre sous la racine), comme des termes semblables :
√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2.
Mais √2 + √3 ne se simplifie pas.
√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2.
Mais √2 + √3 ne se simplifie pas.
Lexique
- radical
- symbole √ ; par extension, nombre écrit avec ce symbole
- carré parfait
- carré d'un naturel : 1, 4, 9, 16, 25, 36…
- racine cubique
- nombre dont le cube vaut le nombre donné
- binôme conjugué
- a + b est le conjugué de a − b
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — séparer une racine de somme. √(a + b) n'est pas √a + √b. Même chose pour la différence. Seul le produit et le quotient se séparent.
Piège — additionner des radicaux différents. √2 + √3 ne vaut pas √5. On ne regroupe que des radicaux semblables, après les avoir simplifiés : √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2.
Attention
- √(−4) n'existe pas dans ℝ : aucun carré n'est négatif. Par contre, ∛(−8) = −2 existe.
- √(a²) = |a| : √((−5)²) = √25 = 5, et non −5.
- √(a + b) ≠ √a + √b : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 7.
L'astuce du prof
Astuce Avec un dénominateur du type √5 − 2, on multiplie par le binôme conjugué √5 + 2, grâce au produit remarquable (a − b)(a + b) = a² − b² :
1 / (√5 − 2) = (√5 + 2) / (5 − 4) = √5 + 2.
1 / (√5 − 2) = (√5 + 2) / (5 − 4) = √5 + 2.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Calculer des racines
Calcule, si c'est possible : √81, ∛64, ∛(−125), √(−9) et √((−7)²).
Voir la correction
√81 = 9 (9² = 81). ∛64 = 4 (4³ = 64). ∛(−125) = −5 car (−5)³ = −125. √(−9) n'existe pas dans ℝ : aucun carré n'est négatif. √((−7)²) = √49 = 7 (et non −7).
Exercice 2 — Simplifier des radicaux
Écris sous la forme k√n avec n le plus petit possible : a) √48 ; b) √98 ; c) √200 ; d) 3√20.
Voir la correction
a) 48 = 16 × 3, donc √48 = 4√3. b) 98 = 49 × 2, donc √98 = 7√2. c) 200 = 100 × 2, donc √200 = 10√2. d) √20 = √(4 × 5) = 2√5, donc 3√20 = 3 × 2√5 = 6√5.