Au programme de ce chapitre
- I. Agrandir et réduire
- II. Les triangles semblables
- III. Calculer une longueur inaccessible
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Deux figures sont semblables si l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre : leurs angles homologues ont la même amplitude et leurs longueurs homologues sont proportionnelles.
Le rapport de similitude k est le nombre par lequel on multiplie les longueurs de départ pour obtenir les longueurs de la figure image :
k = longueur image ÷ longueur de départ.
Le rapport de similitude k est le nombre par lequel on multiplie les longueurs de départ pour obtenir les longueurs de la figure image :
k = longueur image ÷ longueur de départ.
- k > 1 : agrandissement ;
- 0 < k < 1 : réduction ;
- k = 1 : les figures sont isométriques.
Un exemple corrigé
Exemple L'Atomium mesure 102 m de haut. Une maquette au 1/200 (k = 1200) mesure 102 ÷ 200 = 0,51 m, soit 51 cm.
Une photo de 10 cm sur 15 cm agrandie avec k = 2 mesure 20 cm sur 30 cm. Son aire passe de 150 cm² à 600 cm² : elle est multipliée par 2² = 4, et non par 2.
Une photo de 10 cm sur 15 cm agrandie avec k = 2 mesure 20 cm sur 30 cm. Son aire passe de 150 cm² à 600 cm² : elle est multipliée par 2² = 4, et non par 2.
Lexique
- semblables
- de même forme, de tailles éventuellement différentes
- rapport de similitude
- nombre k qui multiplie toutes les longueurs
- proportionnelles
- longueurs dont les rapports sont tous égaux
- échelle
- rapport de similitude d'un plan ou d'une maquette
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — appliquer k aux aires. Si k = 2, l'aire est multipliée par 2² = 4 et le volume par 2³ = 8. Une photo agrandie deux fois en longueur demande quatre fois plus de papier.
Piège — associer les côtés dans l'ordre de l'énoncé. Les côtés homologues sont opposés aux angles égaux. Range-les du plus petit au plus grand avant de calculer les rapports.
Attention Les côtés homologues sont ceux qui sont opposés aux angles de même amplitude. Ne les associe pas dans l'ordre où ils sont écrits dans l'énoncé : compare toujours le plus petit côté avec le plus petit, le plus grand avec le plus grand.
L'astuce du prof
Astuce. Pour contrôler ton résultat : si k > 1 la figure image est plus grande, donc ta longueur calculée doit être plus grande que celle de départ. Une échelle 1200 est une réduction, k = 1/200.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Agrandir un rectangle
Un rectangle mesure 4 cm sur 6 cm. On l'agrandit avec un rapport k = 2,5. Calcule les dimensions du nouveau rectangle et son aire.
Voir la correction
Dimensions : 4 × 2,5 = 10 cm et 6 × 2,5 = 15 cm. Aire : 10 × 15 = 150 cm². Contrôle : l'aire de départ vaut 24 cm² et 24 × 2,5² = 24 × 6,25 = 150 cm².
Exercice 2 — Semblables ou pas ?
Le triangle ABC a pour côtés AB = 4, BC = 5 et CA = 7. Le triangle DEF a pour côtés DE = 10, EF = 14 et FD = 8. Sont-ils semblables ? Si oui, donne le rapport de similitude de ABC vers DEF.
Voir la correction
Les côtés ne sont pas écrits dans le même ordre. Je les range : ABC → 4 ; 5 ; 7 et DEF → 8 ; 10 ; 14. Rapports : 8 ÷ 4 = 2 ; 10 ÷ 5 = 2 ; 14 ÷ 7 = 2. Les trois rapports sont égaux : cas CCC, les triangles sont semblables avec k = 2 (le côté FD correspond à AB, DE à BC, EF à CA).