Au programme de ce chapitre
- I. Conditions d'existence et simplification
- II. Les opérations
- III. S'entraîner
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fraction algébrique est un quotient de deux polynômes, comme (x² − 9) / (x² + 3x).
Les conditions d'existence (CE) sont les valeurs interdites : celles qui annulent le dénominateur. On les écrit avant tout calcul.
Ici : x² + 3x = x(x + 3) = 0 pour x = 0 ou x = −3. CE : x ≠ 0 et x ≠ −3.
Les conditions d'existence (CE) sont les valeurs interdites : celles qui annulent le dénominateur. On les écrit avant tout calcul.
Ici : x² + 3x = x(x + 3) = 0 pour x = 0 ou x = −3. CE : x ≠ 0 et x ≠ −3.
Un exemple corrigé
Exemple 2/x + 3/(x + 1), avec CE x ≠ 0 et x ≠ −1 :
= 2(x + 1) / [x(x + 1)] + 3x / [x(x + 1)] = (2x + 2 + 3x) / [x(x + 1)] = (5x + 2) / [x(x + 1)].
= 2(x + 1) / [x(x + 1)] + 3x / [x(x + 1)] = (2x + 2 + 3x) / [x(x + 1)] = (5x + 2) / [x(x + 1)].
Lexique
- fraction algébrique
- quotient de deux polynômes
- conditions d'existence
- valeurs de la variable qui n'annulent pas le dénominateur
- facteur
- élément d'un produit
- dénominateur commun
- multiple commun des dénominateurs
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — simplifier des termes. (x + 5)/(x + 2) ne se simplifie pas : le 5 et le 2 ne sont pas des facteurs. Il faut d'abord factoriser.
Piège — perdre un signe en soustrayant. Dans A/D − B/D, le numérateur est A − (B) avec parenthèses : (x + 1) − (x − 3) = x + 1 − x + 3 = 4, et non x + 1 − x − 3.
Attention On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes : (x + 3) / 3 n'est pas égal à x, et (x + 5) / (x + 2) ne se simplifie pas. Factorise d'abord, simplifie ensuite.
L'astuce du prof
Astuce. Pour contrôler un résultat, remplace x par un nombre autorisé (2 ou 3 par exemple) dans l'expression de départ et dans ta réponse : les deux valeurs doivent être égales.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Conditions d'existence
Donne les conditions d'existence de a) 5/(x² − 4x) ; b) (x + 1)/(x² − 25).
Voir la correction
a) x² − 4x = x(x − 4) s'annule pour x = 0 ou x = 4. CE : x ≠ 0 et x ≠ 4. b) x² − 25 = (x − 5)(x + 5) s'annule pour x = 5 ou x = −5. CE : x ≠ 5 et x ≠ −5.
Exercice 2 — Simplifier
Simplifie en donnant les CE : a) (3x + 6)/(x² − 4) ; b) (x² + 2x)/(x² + 4x + 4).
Voir la correction
a) x² − 4 = (x − 2)(x + 2), CE : x ≠ 2 et x ≠ −2. Numérateur : 3x + 6 = 3(x + 2). Résultat : 3/(x − 2). b) x² + 4x + 4 = (x + 2)², CE : x ≠ −2. Numérateur : x² + 2x = x(x + 2). Résultat : x(x + 2) / (x + 2)² = x/(x + 2).