Au programme de ce chapitre
- I. Le théorème
- II. La réciproque : prouver un parallélisme
- III. Applications
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Dans le triangle ABC, (MN) // (BC), AM = 4, AB = 10, AN = 6 et MN = 5.
- AM / AB = AN / AC donne 410 = 6 / AC, donc AC = 10 × 6 ÷ 4 = 15.
- AM / AB = MN / BC donne 410 = 5 / BC, donc BC = 10 × 5 ÷ 4 = 12,5.
Lexique
- sécantes
- droites qui se coupent en un point
- proportionnels
- dont les rapports sont égaux
- réciproque
- énoncé où l'on échange l'hypothèse et la conclusion
- produit en croix
- a / b = c / d équivaut à a × d = b × c
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — mélanger morceau et tout. Si AM = 4 et MB = 6, le rapport est AM / AB = 410 et non 4/6. Calcule d'abord le segment entier.
Piège — confondre le théorème et sa réciproque. Pour prouver un parallélisme, on ne peut pas utiliser « (MN) // (BC) » : c'est ce qu'on cherche. On calcule les rapports et on les compare.
Attention
- Les rapports doivent être formés de segments qui partent du même point (ici A), dans le même ordre.
- Le rapport MN / BC ne sert pas pour la réciproque, et il n'existe que dans la configuration du triangle (ou du papillon).
- Calcule chaque rapport à part, sans arrondir trop tôt.
L'astuce du prof
Astuce. Écris toujours les rapports dans le même sens (petit segment / grand segment) en partant du même point. Le résultat doit rester cohérent : AC est plus grand que AN.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Thalès dans un triangle
Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN) // (BC). On donne AM = 3, MB = 6, AN = 2 et BC = 12. Calcule AC et MN.
Voir la correction
AB = AM + MB = 3 + 6 = 9. Thalès : AM / AB = AN / AC = MN / BC, soit 39 = 2/AC = MN/12. Donc AC = 9 × 2 ÷ 3 = 6 et MN = 12 × 3 ÷ 9 = 4. Contrôle : 39 = 1/3, 26 = 13 et 412 = 1/3.
Exercice 2 — Configuration papillon
Les droites (AD) et (BE) se coupent en O, avec (AB) // (DE). On donne OA = 3, OD = 9, OB = 4 et AB = 5. Calcule OE et DE.
Voir la correction
Configuration papillon : OA / OD = OB / OE = AB / DE, soit 39 = 4/OE = 5/DE. Le rapport vaut 39 = 1/3. Donc OE = 4 × 3 = 12 et DE = 5 × 3 = 15.