Au programme de ce chapitre
- I. Le vocabulaire des fonctions
- II. Lire un graphique
- III. Variations, extremums et signe
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction f associe à chaque nombre x de son domaine une seule image, notée f(x).
- Le domaine (dom f) est l'ensemble des x qui ont une image.
- L'ensemble image (im f) est l'ensemble des valeurs prises par f(x).
- Si f(a) = b, on dit que b est l'image de a et que a est un antécédent (ou une préimage) de b.
- Un zéro (ou racine) de f est un x tel que f(x) = 0 : c'est l'abscisse d'un point où le graphique coupe l'axe des x.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple On étudie f(x) = x² − 2x − 3 sur le domaine [−2 ; 4]. Son graphique est une courbe en U dont le point le plus bas est (1 ; −4).
Les zéros sont −1 et 3 ; l'ordonnée à l'origine est f(0) = −3 ; l'ensemble image est [−4 ; 5].
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
Lexique
- domaine
- ensemble des nombres qui ont une image
- image
- nombre f(x) associé à x
- antécédent
- nombre x dont on connaît l'image
- zéro
- valeur de x pour laquelle f(x) = 0
- extremum
- maximum ou minimum d'une fonction
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — confondre image et antécédent. L'image de 2 se lit en partant de x = 2 (c'est f(2)). Les antécédents de 2 sont les x tels que f(x) = 2 : on part de y = 2.
Piège — confondre abscisse et ordonnée d'un extremum. Si le minimum est −4 atteint en x = 1, le minimum vaut −4 (c'est une valeur de f(x)) et non 1. On écrit « minimum −4, atteint en x = 1 ».
Attention Ne confonds pas « l'image de 2 » (on part de x = 2 : f(2) = −3) et « les antécédents de 2 » (on cherche les x tels que f(x) = 2). Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents : ici, −3 a deux antécédents, 0 et 2.
L'astuce du prof
Astuce. Pour les images, trace une verticale ; pour les antécédents, trace une horizontale. Teste aussi chaque courbe avec une verticale qui glisse : si elle coupe deux fois, ce n'est pas une fonction.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Images et antécédents par calcul
Soit la fonction f définie par f(x) = x² − 4. Calcule f(−3), f(0), f(2) et f(5). Quels sont les antécédents de 12 ?
Voir la correction
f(−3) = 9 − 4 = 5 ; f(0) = 0 − 4 = −4 ; f(2) = 4 − 4 = 0 (2 est un zéro) ; f(5) = 25 − 4 = 21. Antécédents de 12 : x² − 4 = 12, donc x² = 16 et x = 4 ou x = −4. Le nombre 12 a deux antécédents.
Exercice 2 — Est-ce une fonction ?
Parmi les courbes suivantes, lesquelles sont le graphique d'une fonction ? a) une droite oblique ; b) la droite verticale d'équation x = 2 ; c) un cercle de centre O.
Voir la correction
On fait glisser une droite verticale. a) Elle coupe la droite oblique en un seul point : c'est une fonction. b) La verticale x = 2 contient tous ses points : la valeur x = 2 aurait une infinité d'images, pas une fonction. c) Une verticale proche du centre coupe le cercle en deux points : un même x aurait deux images, pas une fonction.