Au programme de ce chapitre
- I. Les équations produit nul
- II. Les équations avec x au dénominateur
- III. Les inéquations du premier degré
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
Un exemple corrigé
Exemple
- (x − 3)(2x + 5) = 0 ⇔ x − 3 = 0 ou 2x + 5 = 0 ⇔ x = 3 ou x = −5/2. S = {3 ; −52}.
- x² − 9 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ S = {3 ; −3}.
- x² = 5x ⇔ x² − 5x = 0 ⇔ x(x − 5) = 0 ⇔ S = {0 ; 5}.
Extrait du cours
Pour combien d'heures de location un vélo est-il moins cher avec le tarif A qu'avec le tarif B ? Quelles dimensions donnent une aire donnée ? Grâce à la factorisation, tu peux résoudre de nouvelles équations, et les inéquations répondent aux questions du type « à partir de quand ? ».
Lexique
- équation produit nul
- équation de la forme A × B = 0
- inéquation
- inégalité contenant une inconnue
- intervalle
- ensemble de tous les réels compris entre deux bornes
- ensemble des solutions
- ensemble S de toutes les valeurs qui vérifient l'équation ou l'inéquation
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — diviser par x et perdre une solution. Dans x² = 5x, ne divise pas par x : tu perds la solution 0. Passe tout dans un membre, factorise, puis applique le produit nul.
Piège — oublier de renverser l'inégalité. De −2x > 4, on obtient x < −2 et non x > −2. Teste avec un nombre : x = −3 donne 6 > 4, c'est vrai.
Attention Dans x² = 5x, ne divise pas les deux membres par x : tu obtiendrais x = 5 et tu perdrais la solution x = 0. Ramène tout dans un membre (… = 0), puis factorise.
L'astuce du prof
Astuce. Vérifie toujours ta solution en la remplaçant dans l'équation de départ. Pour une inéquation, teste un nombre de l'intervalle trouvé et un nombre hors de l'intervalle.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Produit nul
Résous (x + 2)(3x − 1) = 0.
Voir la correction
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : x + 2 = 0 ou 3x − 1 = 0. Donc x = −2 ou x = 1/3. S = {−2 ; 13}. Vérification de 13 : 3 × 13 − 1 = 0.
Exercice 2 — Se ramener à un produit nul
Résous : a) 2x² − 8x = 0 ; b) x² − 25 = 0 ; c) x² + 6x + 9 = 0.
Voir la correction
a) 2x(x − 4) = 0, donc x = 0 ou x = 4 : S = {0 ; 4}. b) (x − 5)(x + 5) = 0, donc S = {−5 ; 5}. c) x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0, donc x + 3 = 0 et S = {−3} (une seule solution).