Au programme de ce chapitre
- I. Qu'est-ce qu'un système ?
- II. Les méthodes de résolution
- III. Résoudre un problème
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues s'écrit par exemple :
{ 2x + y = 7
{ x − 3y = −7
Une solution est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations à la fois. Résoudre le système, c'est trouver tous ces couples.
{ 2x + y = 7
{ x − 3y = −7
Une solution est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations à la fois. Résoudre le système, c'est trouver tous ces couples.
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Le système { y = x + 1 ; y = −x + 3 } correspond à deux droites de coefficients angulaires 1 et −1 : elles sont sécantes. En égalant les deux expressions de y : x + 1 = −x + 3, donc 2x = 2 et x = 1, puis y = 2. Les droites se coupent au point (1 ; 2), qui est l'unique solution.
Par contre, { y = 2x + 1 ; y = 2x − 3 } n'a aucune solution : même coefficient angulaire, ordonnées à l'origine différentes.
Par contre, { y = 2x + 1 ; y = 2x − 3 } n'a aucune solution : même coefficient angulaire, ordonnées à l'origine différentes.
Lexique
- système
- ensemble d'équations à résoudre en même temps
- couple
- paire ordonnée de nombres (x ; y)
- substitution
- méthode où l'on remplace une inconnue par son expression
- combinaison
- méthode où l'on additionne des équations pour éliminer une inconnue
- système impossible
- système sans solution
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier les parenthèses en substituant. Dans x − 3(7 − 2x), le −3 se distribue sur les deux termes : x − 21 + 6x. Oublier la parenthèse change le signe de 6x.
Piège — s'arrêter à x ou vérifier une seule équation. Un couple a deux nombres. Calcule x et y, puis vérifie dans les deux équations de départ.
Attention
- Quand tu multiplies une équation par un nombre, multiplie tous les termes, y compris le second membre.
- Vérifie toujours la solution dans les deux équations de départ.
- Dans un problème, précise ce que représente chaque inconnue et réponds par une phrase.
L'astuce du prof
Astuce Choisis la substitution quand une inconnue a un coefficient 1 ou −1. Sinon, la combinaison est souvent plus rapide : multiplie une équation (ou les deux) pour obtenir des coefficients opposés.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un couple est-il solution ?
Le système est { x + 2y = 5 ; 2x − y = 5 }. Les couples (3 ; 1) et (1 ; 2) sont-ils des solutions ?
Voir la correction
Pour (3 ; 1) : 3 + 2 × 1 = 5 et 2 × 3 − 1 = 5. Les deux équations sont vérifiées : (3 ; 1) est solution. Pour (1 ; 2) : 1 + 2 × 2 = 5 est vrai, mais 2 × 1 − 2 = 0 ≠ 5. Une seule équation ne suffit pas : (1 ; 2) n'est pas solution.
Exercice 2 — Substitution
Résous { y = 2x − 1 ; 3x + y = 14 }.
Voir la correction
Dans la seconde équation, je remplace y par 2x − 1 : 3x + (2x − 1) = 14, donc 5x − 1 = 14 et 5x = 15, d'où x = 3. Puis y = 2 × 3 − 1 = 5. Solution : (3 ; 5). Vérification : 3 × 3 + 5 = 14.