Au programme de ce chapitre
- I. Le vocabulaire
- II. Les propriétés
- III. Calculer des amplitudes
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit un cercle de centre O.
- Un angle au centre a son sommet en O ; ses côtés passent par deux points A et B du cercle.
- Un angle inscrit a son sommet M sur le cercle ; ses côtés coupent le cercle en deux autres points A et B.
- L'arc intercepté est l'arc AB situé à l'intérieur de l'angle.
Un exemple corrigé
Exemple Un angle au centre AOB mesure 110°. Tout angle inscrit AMB qui intercepte le même arc AB mesure 110° ÷ 2 = 55°, quelle que soit la position de M sur l'autre arc.
Lexique
- angle au centre
- angle dont le sommet est le centre du cercle
- angle inscrit
- angle dont le sommet est sur le cercle et les côtés coupent le cercle
- arc intercepté
- partie du cercle située à l'intérieur de l'angle
- corde
- segment qui joint deux points du cercle
- tangente
- droite qui touche le cercle en un seul point
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — doubler au lieu de diviser par 2. Pour passer de l'angle au centre à l'angle inscrit, on divise par 2. Si ton angle inscrit dépasse l'angle au centre, tu t'es trompé de sens.
Piège — comparer des angles qui n'interceptent pas le même arc. Deux angles ne sont égaux que s'ils interceptent le même arc. Deux angles inscrits placés de part et d'autre de la corde ne sont en général pas égaux.
Attention Les deux angles doivent intercepter le même arc. Si le sommet M d'un angle inscrit et le centre O ne sont pas du même côté de la corde [AB], l'angle au centre à utiliser est celui qui intercepte l'arc situé dans l'angle AMB, parfois un angle rentrant (plus de 180°).
L'astuce du prof
Astuce Pour retrouver le centre d'un cercle tracé (une assiette, un couvercle…), place le coin d'une feuille sur le bord : les deux points où les bords de la feuille coupent le cercle forment un diamètre (angle droit inscrit). Recommence une deuxième fois : les deux diamètres se coupent au centre.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Du centre à la circonférence
a) Un angle au centre AOB mesure 84°. Que mesure un angle inscrit AMB qui intercepte le même arc AB ? b) Un angle inscrit mesure 37°. Que mesure l'angle au centre qui intercepte le même arc ?
Voir la correction
a) L'angle inscrit vaut la moitié : 84° ÷ 2 = 42°. b) L'angle au centre est le double : 37° × 2 = 74°.
Exercice 2 — Deux angles inscrits égaux
Les points A, B, C et D sont sur un cercle, C et D étant du même côté de la corde [AB]. On donne ACB = 2x + 10° et ADB = 3x − 5°. Trouve x, puis l'amplitude de ces angles.
Voir la correction
Ces deux angles inscrits interceptent le même arc AB : ils sont égaux. 2x + 10 = 3x − 5, donc 10 + 5 = 3x − 2x, soit x = 15. Alors ACB = 2 × 15 + 10 = 40° et ADB = 3 × 15 − 5 = 40°. Les deux valeurs concordent.