Au programme de ce chapitre
- I. Les isométries du plan
- II. Les cas d'isométrie des triangles
- III. Démontrer avec les cas d'isométrie
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les distances : la distance entre deux points images est égale à la distance entre les deux points de départ.
Deux figures sont isométriques si l'une est l'image de l'autre par une isométrie (ou par un enchaînement d'isométries). On peut alors les superposer exactement, éventuellement en retournant le calque.
Deux figures sont isométriques si l'une est l'image de l'autre par une isométrie (ou par un enchaînement d'isométries). On peut alors les superposer exactement, éventuellement en retournant le calque.
Un exemple corrigé
Exemple Hypothèse : M est le milieu de [AB] et P est un point de la perpendiculaire à (AB) passant par M.
Thèse : PA = PB.
Dans les triangles PMA et PMB :
Thèse : PA = PB.
Dans les triangles PMA et PMB :
- MA = MB (M est le milieu de [AB]) ;
- les angles PMA et PMB mesurent 90° (perpendiculaire) ;
- [PM] est un côté commun.
Lexique
- isométrie
- transformation qui conserve les distances
- homologues
- éléments qui se correspondent dans deux figures
- amplitude
- mesure d'un angle, en degrés
- hypothèse
- ce que l'on sait au départ d'une démonstration
- thèse
- ce que l'on doit démontrer
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — l'angle n'est pas compris entre les côtés. Deux côtés et un angle égaux ne donnent le cas CAC que si l'angle est entre ces deux côtés. Vérifie toujours sa position avant de conclure.
Piège — « mêmes angles » veut dire « isométriques ». Trois angles égaux donnent des triangles semblables, pas forcément isométriques. Il faut au moins une longueur dans l'information.
Attention
- Trois angles de même amplitude (« AAA ») ne suffisent pas : un triangle et son agrandissement ont les mêmes angles mais pas les mêmes côtés.
- Deux côtés et un angle non compris entre eux ne suffisent pas en général : l'angle doit être entre les deux côtés.
L'astuce du prof
Astuce. Code ta figure : un même nombre de petits traits sur les côtés égaux, un même nombre d'arcs sur les angles égaux. Tu vois tout de suite si tu as CCC, CAC ou ACA.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Trois côtés égaux
Le triangle ABC a pour côtés AB = 5 cm, BC = 7 cm et CA = 9 cm. Le triangle DEF a pour côtés DE = 7 cm, EF = 9 cm et FD = 5 cm. Ces triangles sont-ils isométriques ? Si oui, quel angle de DEF est égal à l'angle B ?
Voir la correction
Je range les côtés par ordre croissant : 5, 7, 9 dans les deux triangles. Ils sont donc égaux deux à deux (AB = FD, BC = DE, CA = EF) et le cas CCC s'applique : les triangles sont isométriques. L'angle B est opposé au côté [CA] de 9 cm ; l'angle homologue est opposé au côté de 9 cm dans DEF, c'est [EF] : c'est donc l'angle D.
Exercice 2 — Ce qu'une rotation conserve
Le triangle ABC a un périmètre de 24 cm, une aire de 20 cm² et un angle A de 62°. Son image A'B'C' par une rotation est tracée. Donne le périmètre, l'aire et l'angle A' du nouveau triangle. Que deviennent ces trois valeurs si, au lieu de la rotation, on agrandit ABC avec k = 2 ?
Voir la correction
Une rotation est une isométrie : 24 cm, 20 cm² et 62° ne changent pas. Avec un agrandissement de rapport 2, ce n'est plus une isométrie : le périmètre double (48 cm), l'aire est multipliée par 2² = 4 (80 cm²), mais l'angle reste 62°.