Au programme de ce chapitre
- I. L'inégalité triangulaire
- II. Rationnels et irrationnels
- III. Situer un irrationnel
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition
- Un nombre rationnel peut s'écrire comme une fraction a / b d'entiers (b ≠ 0). Son développement décimal est limité (34 = 0,75) ou illimité périodique (13 = 0,333…).
- Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire comme une fraction. Son développement décimal est illimité et non périodique : √2, √3, π…
- Les rationnels et les irrationnels forment ensemble les réels ℝ. On a ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Un exemple corrigé
Exemple
- 3 cm, 4 cm et 8 cm : 3 + 4 = 7 < 8. Le triangle est impossible : les deux petits côtés ne se rejoignent pas.
- 5 cm, 7 cm et 10 cm : 5 + 7 = 12 > 10. Le triangle existe.
Lexique
- inégalité triangulaire
- dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres
- rationnel
- nombre qui s'écrit comme une fraction d'entiers
- irrationnel
- nombre réel qui n'est pas une fraction
- période
- groupe de chiffres qui se répète dans un développement décimal
- raisonnement par l'absurde
- on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — le cas d'égalité. Avec 4, 5 et 9, la somme des deux petits côtés est égale au grand : le triangle est aplati. L'inégalité doit être stricte pour qu'un vrai triangle existe.
Piège — toute racine carrée est irrationnelle. √9 = 3 et √16 = 4 sont des entiers. Seules les racines de nombres qui ne sont pas des carrés parfaits (√2, √5, √7…) sont irrationnelles.
Attention 3,14 et 227 ne sont que des valeurs approchées de π. De même, 1,414213562 affiché par la calculatrice n'est qu'un arrondi de √2.
L'astuce du prof
Astuce Pour placer √2 exactement sur une droite graduée, construis un carré de côté 1 à partir de 0 : sa diagonale mesure √(1² + 1²) = √2 (Pythagore). Reporte-la au compas sur la droite à partir de 0.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Le triangle existe-t-il ?
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent : a) 6 cm, 7 cm et 12 cm ; b) 4 cm, 5 cm et 9 cm ; c) 2 cm, 9 cm et 12 cm ?
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a) 6 + 7 = 13 > 12 : le triangle existe. b) 4 + 5 = 9, la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres : les trois points sont alignés, le triangle est aplati, il n'existe pas. c) 2 + 9 = 11 < 12 : le triangle est impossible.
Exercice 2 — Valeurs possibles du troisième côté
Un triangle a deux côtés de 5 cm et 9 cm. Entre quelles valeurs se trouve la longueur x du troisième côté ?
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Il faut x < 5 + 9, donc x < 14. Il faut aussi que 9 < 5 + x (le côté de 9 cm reste plus court que la somme des deux autres), donc x > 4. La longueur x vérifie 4 < x < 14 (en cm).