Au programme de ce chapitre
- I. Définitions
- II. Les propriétés
- III. La notation scientifique
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Pour un nombre a et un naturel n ≥ 2 : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs).
- a¹ = a ;
- a⁰ = 1 (si a ≠ 0) ;
- a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (si a ≠ 0) : un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif.
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Un exemple corrigé
Exemple
- 2⁻³ = 1 / 2³ = 18
- 10⁻³ = 1 / 1000 = 0,001
- (23)⁻² = (32)² = 94
- (−2)⁴ = 16, mais −2⁴ = −(2⁴) = −16
- (−2)³ = −8 : un exposant impair garde le signe −.
Lexique
- exposant
- nombre de facteurs égaux dans une puissance
- base
- nombre qui est multiplié par lui-même
- inverse
- 1 / a, le nombre qui multiplié par a donne 1
- notation scientifique
- écriture a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — exposant négatif = nombre négatif. 10⁻³ n'est pas −1000 : c'est 1/1000 = 0,001. Le signe de l'exposant décide de « grand » ou « petit », pas du signe du nombre.
Piège — appliquer les règles à une somme ou mélanger les bases. 3 × 2² = 3 × 4 = 12 et non 6². Les règles de produit s'appliquent à des puissances de même base : 2³ × 2² = 2⁵ = 32, mais 2³ + 2² = 12.
Attention
- Il n'y a pas de règle pour une somme : 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, et non 2⁵ = 32.
- Les règles ne s'appliquent qu'à des puissances de même base (produit, quotient) ou de même exposant (a × b)ⁿ.
- 3 × 2² = 3 × 4 = 12, et non 6² : la puissance est prioritaire.
L'astuce du prof
Astuce. En notation scientifique, si la partie décimale sort de [1 ; 10[ (par exemple 12 × 10³), réécris-la : 12 = 1,2 × 10, donc 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴. Un grand nombre a un exposant positif, un petit nombre un exposant négatif.
Exercices corrigés
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Exercice 1 — Calculs de base
Calcule : a) 3⁴ ; b) 5⁰ ; c) 4⁻² ; d) (−3)³ ; e) (12)⁻³.
Voir la correction
a) 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. b) 5⁰ = 1. c) 4⁻² = 1 / 4² = 116. d) (−3)³ = −27 (exposant impair, le signe − reste) : −27. e) (12)⁻³ = (21)³ = 2³ = 8.
Exercice 2 — Attention aux signes
Calcule (−4)², −4², (−2)⁵ et (−2)⁻².
Voir la correction
(−4)² = (−4) × (−4) = 16. −4² = −(4²) = −16 (la puissance ne concerne que le 4). (−2)⁵ = −32 (exposant impair). (−2)⁻² = 1 / (−2)² = 14 (un exposant négatif n'a pas rendu le résultat négatif).