Au programme de ce chapitre
- I. Sinus, cosinus et tangente
- II. Calculer des longueurs et des angles
- III. Mesurer l'inaccessible
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
(La tangente se note tg en Belgique ; la calculatrice l'écrit souvent tan.)
- l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ;
- le côté opposé à α est celui qui ne touche pas α ;
- le côté adjacent à α est le côté de l'angle droit qui touche α.
(La tangente se note tg en Belgique ; la calculatrice l'écrit souvent tan.)
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
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Un exemple corrigé
Exemple Dans un triangle rectangle, le côté opposé à α mesure 3 cm et l'hypoténuse 6 cm.
sin α = 36 = 0,5, donc α = sin⁻¹(0,5) = 30° (touche « sin⁻¹ », parfois « Arcsin », de la calculatrice).
sin α = 36 = 0,5, donc α = sin⁻¹(0,5) = 30° (touche « sin⁻¹ », parfois « Arcsin », de la calculatrice).
Lexique
- sinus
- rapport côté opposé / hypoténuse
- cosinus
- rapport côté adjacent / hypoténuse
- tangente (tg)
- rapport côté opposé / côté adjacent
- côté adjacent
- côté de l'angle droit qui touche l'angle considéré
- angle d'élévation
- angle entre l'horizontale et la direction visée vers le haut
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — la calculatrice est en radians. Avant de calculer, vérifie que l'écran affiche DEG. Test rapide : sin 30° doit donner 0,5.
Piège — mal repérer opposé et adjacent. Ils se repèrent par rapport à l'angle utilisé, pas par rapport à la figure. Marque l'angle d'abord, puis nomme les côtés.
Attention
- Règle ta calculatrice en mode degrés (DEG), pas en radians.
- Un sinus ou un cosinus supérieur à 1 signale une erreur.
- « Opposé » et « adjacent » changent si l'on change d'angle : repère-les toujours par rapport à l'angle utilisé.
L'astuce du prof
Astuce Pour retenir les formules : SOH CAH TOA — Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent.
Hypoténuse absente des données ? C'est la tangente.
Hypoténuse absente des données ? C'est la tangente.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Les trois rapports
Un triangle rectangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Pour l'angle α opposé au côté de 3 cm, donne sin α, cos α et tg α. Vérifie que sin² α + cos² α = 1.
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L'hypoténuse mesure 5 cm, le côté opposé à α 3 cm et le côté adjacent 4 cm. sin α = 35 = 0,6 ; cos α = 45 = 0,8 ; tg α = 34 = 0,75. Vérification : 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. Et sin α ÷ cos α = 0,6 ÷ 0,8 = 0,75 = tg α.
Exercice 2 — Calculer des longueurs
Le triangle ABC est rectangle en A, AB = 8 cm et l'angle B mesure 35°. Calcule AC et BC (arrondis au centième).
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Par rapport à l'angle B, [AB] est le côté adjacent et [AC] le côté opposé. tg 35° = AC / 8, donc AC = 8 × tg 35° ≈ 5,60 cm. Pour l'hypoténuse : cos 35° = 8 / BC, donc BC = 8 ÷ cos 35° ≈ 9,77 cm.