Au programme de ce chapitre
- I. Les quatre familles
- II. Tracer hauteurs et médianes
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Hauteur La hauteur issue de A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite BC.
Un exemple corrigé
Exemple Trois villages veulent installer une antenne à la même distance de chacun d'eux. On représente les villages par les sommets d'un triangle : l'antenne doit se trouver au point de concours des médiatrices, le centre du cercle circonscrit.
Extrait du cours
Dans chaque triangle, on peut tracer quatre familles de droites « remarquables ». Chaque famille se coupe en un point qui a une propriété utile : centre d'un cercle, point d'équilibre…
| Droites | Définition | Point de concours |
|---|---|---|
| médiatrices | perpendiculaires aux côtés en leur milieu | centre du cercle circonscrit (cercle qui passe par les trois sommets) |
| bissectrices | partagent chaque angle en deux angles de même amplitude | centre du cercle inscrit (cercle qui touche les trois côtés) |
| hauteurs | passent par un sommet et sont perpendiculaires au côté opposé | orthocentre |
| médianes | passent par un sommet et le milieu du côté opposé | centre de gravité (point d'équilibre du triangle) |
Lexique
- concourantes
- droites qui passent par un même point
- cercle circonscrit
- cercle qui passe par les trois sommets
- orthocentre
- point de concours des hauteurs
- centre de gravité
- point de concours des médianes
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — médiane et médiatrice. La médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé. La médiatrice est perpendiculaire au côté en son milieu, mais ne passe pas forcément par le sommet opposé.
Piège — la hauteur se mesure jusqu'à la droite. La hauteur est perpendiculaire à la droite (BC), pas seulement au segment [BC]. Dans un triangle obtusangle, prolonge le côté pour pouvoir la tracer.
Attention Dans un triangle obtusangle, deux hauteurs tombent à l'extérieur du triangle : il faut prolonger les côtés. L'orthocentre est alors à l'extérieur du triangle.
L'astuce du prof
Astuce. Deux droites suffisent à placer un point de concours. Trace la troisième pour contrôler : si elle ne passe pas par le même point, une construction est imprécise.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Point d'équilibre
Comment s'appelle le point de concours des trois médianes d'un triangle ?
Voir la correction
Les médianes se coupent au centre de gravité du triangle, qui est son point d'équilibre.
Exercice 2 — Médiane et milieu
Dans le triangle ABC, |BC| = 10 cm. I est le milieu de [BC]. Quelle est la longueur |BI| ?
Voir la correction
I est le milieu de [BC], donc |BI| = 10 : 2 = 5 cm. La droite (AI) est la médiane issue de A.