Au programme de ce chapitre
- I. Le système masse-ressort
- II. Mesurer et calculer
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un ressort étiré ou comprimé d'une longueur x exerce une force de rappel proportionnelle à cette déformation et dirigée vers la position d'équilibre : F = −k · x (loi de Hooke). k est la constante de raideur du ressort, en N/m.
Une masse m accrochée à ce ressort et écartée de sa position d'équilibre effectue un mouvement harmonique : x(t) = A · sin(ω·t + φ), avec A l'amplitude, ω = 2π/T la pulsation (rad/s) et φ la phase à l'origine.
Une masse m accrochée à ce ressort et écartée de sa position d'équilibre effectue un mouvement harmonique : x(t) = A · sin(ω·t + φ), avec A l'amplitude, ω = 2π/T la pulsation (rad/s) et φ la phase à l'origine.
Un exemple corrigé
Exemple Une masse de 0,50 kg est accrochée à un ressort de raideur 20 N/m. T = 2π × √(0,50 / 20) = 2π × 0,158 ≈ 0,99 s.
Lexique
- loi de Hooke
- la force de rappel d'un ressort est proportionnelle à sa déformation
- constante de raideur
- force nécessaire pour déformer le ressort de 1 m, en N/m
- pulsation
- ω = 2π/T, en radians par seconde
- amortissement
- diminution progressive de l'amplitude due aux frottements
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — Les centimètres dans la loi de Hooke. Dans F = k·x et dans k en N/m, x doit être en mètres. Avec x = 5 cm = 0,05 m et F = 2 N, k vaut 40 N/m, pas 0,4. De même, une masse de 200 g s'écrit 0,200 kg dans T = 2π√(m/k).
Piège — Calculatrice en degrés pour sin(ωt + φ). L'argument ωt s'exprime en radians. Pour sin(1,0) avec la calculatrice en degrés, tu obtiens 0,017 au lieu de 0,841. Attention : c'est l'inverse du chapitre sur les projectiles, où les angles sont en degrés.
Attention Une oscillation plus ample n'est pas plus lente : avec une amplitude double, la masse parcourt plus de chemin mais va plus vite, et la période reste la même. Dans la réalité, les frottements diminuent peu à peu l'amplitude : on parle d'oscillations amorties (c'est le rôle des amortisseurs d'une voiture).
L'astuce du prof
Astuce — Un ressort vertical sans connaître k ni m. À l'équilibre, k·xéq = m·g, donc m/k = xéq/g et T = 2π√(xéq/g). Il suffit de mesurer l'allongement à l'équilibre : avec 5,0 cm, T = 2π√(0,050/9,81) ≈ 0,45 s, quelle que soit la masse.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Constante de raideur
Un ressort s'allonge de 8,0 cm quand on exerce sur lui une force de 4,0 N. Calcule sa constante de raideur, puis la force nécessaire pour l'allonger de 5,0 cm.
Voir la correction
Je convertis l'allongement : 8,0 cm = 0,080 m. Alors k = F / x = 4,0 / 0,080 = 50 N/m. Pour un allongement de 5,0 cm = 0,050 m, la force vaut F = k·x = 50 × 0,050 = 2,5 N. On vérifie la proportionnalité : 5,0 cm est inférieur à 8,0 cm et la force est inférieure à 4,0 N.
Exercice 2 — Un tableau de mesures pour déterminer k
On suspend des masses à un ressort vertical et on mesure l'allongement à l'équilibre :
Calcule k pour chaque mesure, puis la valeur moyenne. Quelle sera la période d'oscillation avec une masse de 250 g ?
| Masse (g) | 50 | 100 | 150 | 200 |
|---|---|---|---|---|
| Allongement (cm) | 1,2 | 2,5 | 3,7 | 4,9 |
Voir la correction
À l'équilibre, k·x = m·g, donc k = m·g / x avec m en kg et x en m. Mesure 1 : 0,050 × 9,81 / 0,012 ≈ 40,9 N/m. Mesure 2 : 0,100 × 9,81 / 0,025 ≈ 39,2 N/m. Mesure 3 : 0,150 × 9,81 / 0,037 ≈ 39,8 N/m. Mesure 4 : 0,200 × 9,81 / 0,049 ≈ 40,0 N/m. La moyenne vaut k ≈ 40 N/m. Avec m = 0,250 kg : T = 2π × √(0,250 / 40) ≈ 0,50 s.