Au programme de ce chapitre
- I. Construire un triangle
- II. Les cas d'isométrie
- III. Utiliser les cas d'isométrie pour démontrer
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Deux triangles sont isométriques s'ils sont superposables : leurs côtés correspondants ont la même longueur et leurs angles correspondants ont la même amplitude.
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Un exemple corrigé
Exemple
- 4 cm, 5 cm et 8 cm : 4 + 5 = 9 > 8, le triangle existe.
- 3 cm, 4 cm et 8 cm : 3 + 4 = 7 < 8, le triangle est impossible : les deux petits côtés ne se rejoignent pas.
- Si deux angles mesurent 65° et 48°, le troisième mesure 180° − 65° − 48° = 67°.
Lexique
- isométriques
- superposables : mêmes longueurs et mêmes amplitudes
- amplitude
- mesure d'un angle, en degrés
- angle compris
- angle formé par les deux côtés dont on parle
- hypothèse / thèse
- ce que l'on sait / ce que l'on veut démontrer
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — trois angles ne suffisent pas. Les cas d'isométrie imposent au moins un côté. AAA donne des triangles de même forme, pas forcément de même taille.
Piège — l'angle doit être compris. Dans CAC, l'angle égal doit se trouver entre les deux côtés égaux. Avec un angle situé ailleurs, les triangles peuvent être différents.
Attention
- Trois angles égaux ne suffisent pas : deux triangles équilatéraux de côtés 2 cm et 5 cm ont les mêmes angles mais ne sont pas superposables.
- Dans le cas CAC, l'angle doit être compris entre les deux côtés.
L'astuce du prof
Astuce. Pour l'inégalité triangulaire, il suffit de comparer le plus grand côté à la somme des deux autres. Sur une figure, code les côtés égaux avec des traits identiques et les angles égaux avec des arcs identiques : le cas d'isométrie saute aux yeux.
Exercices corrigés
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Exercice 1 — Le triangle existe-t-il ?
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent a) 6 cm, 8 cm et 9 cm ? b) 4 cm, 4 cm et 9 cm ?
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a) Le plus grand côté est 9 cm et 6 + 8 = 14 est plus grand que 9 : oui, le triangle existe. b) 4 + 4 = 8 est plus petit que 9 : non, les deux petits côtés ne se rejoignent pas.
Exercice 2 — Angles inconnus
Dans un triangle ABC, Â = 57° et B̂ est le double de Ĉ. Calcule B̂ et Ĉ.
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Les deux angles manquants totalisent 180° − 57° = 123°. Si Ĉ = x, alors B̂ = 2x et 3x = 123, donc x = 41. On obtient Ĉ = 41° et B̂ = 82°. Contrôle : 57 + 82 + 41 = 180.