Au programme de ce chapitre
- I. Les quatre isométries
- II. Construire l'image d'un point
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les longueurs. Elle conserve donc aussi les amplitudes des angles, les aires, le parallélisme et l'alignement : l'image d'une figure lui est superposable.
Un exemple corrigé
Exemple Dans un repère orthonormé, l'image de A(3 ; −2) :
- par la symétrie centrale de centre O(0 ; 0) : A'(−3 ; 2) ;
- par la symétrie orthogonale d'axe x (axe des abscisses) : A'(3 ; 2) ;
- par la translation « 4 vers la droite et 1 vers le haut » : A'(7 ; −1).
Lexique
- isométrie
- transformation qui conserve les longueurs
- image
- point ou figure obtenu après la transformation
- sens antihorlogique
- sens contraire des aiguilles d'une montre
- médiatrice
- droite perpendiculaire à un segment en son milieu
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — confondre symétrie orthogonale et symétrie centrale. Dans la symétrie centrale, O est le milieu de [AA']. Dans la symétrie orthogonale, c'est l'axe qui est la médiatrice de [AA'] : le segment [AA'] est perpendiculaire à l'axe et coupé en son milieu par lui.
Piège — changer la mauvaise coordonnée. Avec la symétrie d'axe x (horizontal), seule l'ordonnée change de signe : (3 ; −2) devient (3 ; 2). Beaucoup d'élèves changent l'abscisse. Fais un petit croquis pour contrôler.
Attention Ne confonds pas symétrie orthogonale et symétrie centrale : dans la symétrie centrale de centre O, O est le milieu de [AA'] ; dans la symétrie orthogonale, c'est l'axe qui est la médiatrice de [AA'].
L'astuce du prof
Astuce. Pour contrôler une symétrie orthogonale, plie mentalement la feuille le long de l'axe : l'image doit tomber exactement sur l'original. Pour une symétrie centrale, fais pivoter la feuille d'un demi-tour autour du centre.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Deux symétries
Donne les coordonnées de l'image de B(−2 ; 5) par a) la symétrie orthogonale d'axe y (axe des ordonnées) ; b) la symétrie centrale de centre l'origine O.
Voir la correction
a) L'axe des ordonnées est vertical : l'abscisse change de signe et l'ordonnée reste la même, donc B'(2 ; 5). b) Les deux coordonnées changent de signe : B''(2 ; −5).
Exercice 2 — Une translation
La translation « 3 vers la gauche et 4 vers le haut » est appliquée au point C(1 ; −2). Quelles sont les coordonnées de C' ?
Voir la correction
Aller 3 vers la gauche, c'est enlever 3 à l'abscisse : 1 − 3 = −2. Aller 4 vers le haut, c'est ajouter 4 à l'ordonnée : −2 + 4 = 2. On obtient C'(−2 ; 2).