Au programme de ce chapitre
- I. Mesurer une distance
- II. Les lieux géométriques
- III. Combiner deux conditions
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition
- La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB], notée |AB|.
- La distance d'un point P à une droite d est la longueur du segment perpendiculaire [PH] mené de P à d (H est sur d). C'est la plus courte distance entre P et un point de d.
- La distance entre deux droites parallèles est la longueur d'un segment perpendiculaire aux deux droites, qui les joint.
Un exemple corrigé
Exemple Deux écoles A et B veulent un arrêt de bus commun, situé à la même distance des deux écoles. Tous les emplacements possibles se trouvent sur la médiatrice de [AB]. Si l'arrêt doit aussi être au bord d'une route rectiligne, on le place à l'intersection de la médiatrice et de la route.
Lexique
- lieu géométrique
- ensemble de tous les points qui ont une même propriété
- médiatrice
- droite perpendiculaire à un segment en son milieu ; ses points sont équidistants des extrémités
- bissectrice
- droite qui partage un angle en deux angles de même amplitude
- équidistant
- situé à la même distance
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — mesurer en oblique. Un segment oblique entre P et la droite d est toujours plus long que la perpendiculaire. Utilise l'équerre pour tracer la perpendiculaire avant de mesurer.
Piège — oublier un des deux côtés. Les points situés à 2 cm d'une droite forment DEUX droites parallèles, une de chaque côté. Il ne faut pas en tracer une seule.
Attention La distance d'un point à une droite se mesure perpendiculairement à la droite. Tout autre segment entre P et d est plus long.
L'astuce du prof
Astuce. Traduis l'énoncé en mots-clés : « équidistant de deux points » → médiatrice ; « équidistant de deux côtés » → bissectrice ; « à distance fixe d'un point » → cercle. Puis cherche les intersections avec un crayon de couleur par lieu.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Nommer le lieu
Quel est le lieu des points a) situés à 4 cm d'un point O ? b) situés à 4 cm ou moins de O ? c) situés à égale distance de deux points A et B ?
Voir la correction
a) Le cercle de centre O et de rayon 4 cm. b) Le disque de centre O et de rayon 4 cm, bord compris. c) La médiatrice du segment [AB].
Exercice 2 — Cercle et droite
Un point P est à 7 cm d'une droite d. Combien de points de d se trouvent à 9 cm de P ? à 7 cm de P ? à 5 cm de P ?
Voir la correction
Le point de d le plus proche de P est à 7 cm (la distance perpendiculaire). À 9 cm, le cercle de centre P coupe d en 2 points. À 7 cm, il touche d en un seul point, le pied de la perpendiculaire. À 5 cm, le cercle est trop petit et ne rencontre pas d : aucun point.