Au programme de ce chapitre
- I. Reconnaitre et décrire les solides
- II. Les développements
- III. Représenter un solide sur une feuille
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un polyèdre est un solide limité uniquement par des faces planes polygonales. On y compte des faces, des arêtes (segments où deux faces se rencontrent) et des sommets. Les prismes droits (dont le pavé et le cube) et les pyramides sont des polyèdres. Le cylindre, le cône et la sphère ne le sont pas : ils ont des surfaces courbes.
Extrait du cours
Une boite à chaussures, une canette, une tente : ce sont des solides. Pour les fabriquer, on part d'un développement ; pour les dessiner sur une feuille, on utilise la perspective cavalière ou des vues coordonnées.
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|
| Cube ou pavé (parallélépipède rectangle) | 6 | 12 | 8 |
| Prisme droit à base triangulaire | 5 | 9 | 6 |
| Pyramide à base carrée | 5 | 8 | 5 |
Lexique
- arête
- segment où deux faces d'un solide se rencontrent
- développement
- figure plane qu'on replie pour obtenir le solide
- perspective cavalière
- dessin d'un solide où la face avant est en vraie grandeur et les fuyantes sont inclinées et réduites
- vues coordonnées
- vues de face, de dessus et de côté d'un solide
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — six carrés qui ne forment pas un cube. Plier mentalement face par face : si deux carrés se retrouvent au même endroit, ce n'est pas un développement de cube.
Piège — la longueur du rectangle d'un cylindre. Elle vaut 2πr (le périmètre du disque), pas r ni πr2. πr2 est l'aire du disque.
Attention Six carrés ne forment pas toujours un développement de cube : un bloc de 2 rangées de 3 carrés, ou une ligne de 5 carrés, ne se replie pas en cube. Imagine le pliage face par face et vérifie que deux faces ne se superposent pas.
L'astuce du prof
Astuce Pour vérifier tes comptages sur un polyèdre comme ceux du tableau : faces + sommets − arêtes = 2. Pour le cube : 6 + 8 − 12 = 2.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Un prisme pentagonal
Combien de faces, d'arêtes et de sommets possède un prisme droit à base pentagonale ?
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Il a 2 bases et 5 faces latérales, donc 7 faces. Chaque base compte 5 arêtes et il y a 5 arêtes latérales : 5 + 5 + 5 = 15 arêtes. Les sommets sont 5 + 5 = 10. Contrôle : 7 + 10 − 15 = 2.
Exercice 2 — La formule d'Euler
Un polyèdre a 12 arêtes et 6 sommets. Combien de faces possède-t-il ?
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On sait que faces + sommets − arêtes = 2. Donc faces + 6 − 12 = 2, c'est-à-dire faces = 2 + 12 − 6 = 8. Ce polyèdre a 8 faces.